Ax=b con vector b paramétrico.

Question

A= $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 2 & -2 & -6 \end{pmatrix}$

B= $\begin{pmatrix} 8\\ k\\ 8 \end{pmatrix}$

Discute las soluciones del sistema S: Ax=B.

---

He utilizado el teorema de Rouche Capelli que implica que S tiene soluciones sólo si:

$rkA\leq$ rk $A'$

donde A'= A|B.

Bueno, $rkA$ =2 todavía. Pero $rkA'=2$ sólo si $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 8\\ 0 & 1 & k\\ 2 & -2 & 8 \end{vmatrix}$ = $0$

Esto ocurre por $k=1$ que está bien con mi libro de texto pero... ...si $k=1$ También puedo calcular el otro determinante posible:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 8\\ 0 & 1 & k\\ 2 & -6 & 8 \end{vmatrix}$ que para $k=1$ no es igual a $0$ $\Rightarrow $ para $k=1$ , $rkA'$ = $0$

Mi libro de texto sigue diciendo que para $k=1$ S tiene una solución. ¿Por qué estoy equivocado?

Mi solución será crear un sistema formado por los posibles determinantes igualados a 0 (en este caso 2 deterimnantes).

Answer 1

Utiliza la reducción de filas para la matriz aumentada: \begin {align} \begin {bmatrix}1&3&1&8 \\0 &1&1&k \\2 &-2&-6&8 \end {bmatrix} \rightsquigarrow\begin {bmatrix}1&3&1&8 \\0 &1&1&k \\0 &-8&-8&-8 \end {bmatrix} \rightsquigarrow \begin {bmatrix}1&3&1&8 \\0 &1&1&k \\0 &0&0&(k-1)8 \end {bmatrix} \end {align} Así $\operatorname{rank}A'=2$ si y sólo si $k=1$ .

Además, las soluciones son un subespacio afín de dimensión $1$ si continuamos la reducción de filas para obtener la forma escalonada reducida, eliminando la última fila (cero), tenemos $$\begin{bmatrix}1&3&1&8\\0&1&1&1\end{bmatrix}\rightsquigarrow\begin{bmatrix}1&0&-2&5\\0&1&1&1\end{bmatrix}$$ de ahí las soluciones: \begin {align} \begin {casos}x&=2z-5, \\ y&=-z-1, \end {casos} \quad\text {o, en forma vectorial:} \quad \begin {bmatriz}x \\y\\z\end {bmatrix}=z \begin {bmatrix}2 \\ -1 \\1\end {bmatrix}- \begin {bmatrix}5 \\1\\0\end {bmatrix}. \end {align}