Por qué el $\sum_{n=1}^x \frac {1}{n} \sim \mathrm {ln} x + \frac {1}{2}$

Question

Estaba jugando con la serie Harmonic y noté que:$$\sum_{n=1}^x \frac {1}{n} \sim \mathrm {ln} x + \frac {1}{2}$ $
Quería saber si esto es solo una coincidencia o si es causada por algo más profundo. Gracias por adelantado

Answer 1

PS

Entonces, si$$\sum_{k=2}^{n}\frac1k <\int_1^n\frac {dt}t<\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k$ tenemos$H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k$ $

Answer 2

Bueno, veo una respuesta que trabaja en algo que no me parece muy responder a la pregunta, y otra respuesta que responde a la pregunta con ninguna prueba (sí, hay un enlace). Y, por supuesto, varios más ahora que he escrito esto...

Aquí está la historia:

Decir $R_n$ es el rectángulo en el plano con base igual al intervalo de $[n,n+1]$ $x$- eje y la altura de la $1/n$. En otras palabras, $R_n=[n,n+1]\times[0,1/n]$. De manera que el área de $R_n$ es exactamente $1/n$. Ahora dividida $R_n$ en dos piezas $$R_n=L_n\cup E_n,$$where $L_n$ is the part of $R_n$ lying below the curve $y=1/x$ and $E_n$ is the part above the curve. So the area of $L_n$ is $\int_n^{n+1}\frac{dt}t,$. Say $\delta_n$ is the area of $E_n$. So we have $$\frac1n=\delta_n+\int_n^{n+1}\frac{dt}t.$$Add those equations and you get $$H_n=\log(n+1)+\sum_{j=1}^n\delta_j.$$Subtract $\log(n)$ from both sides: $$H_n-\log(n)=\log\left(1+\frac1n\right)+\sum_{j=1}^n\delta_j.$$So we get $$\lim_{n\to\infty}(H_n-\log(n))=\sum_{j=1}^\infty\delta_j.$$Ahora la pregunta es ¿por que la suma converge.

Mira la foto y se ve que en realidad $$E_j\subset[j,j+1]\times[1/(j+1),1/j].$$So since $\delta_j$ is the area of $E_j$ we have $$0\le\delta_j\le\frac1j-\frac1{j+1}.$$ So the sum converges; the value of the sum is known as $\gamma$, and so $$H_n-\log(n)\to\gamma\quad(n\to\infty).$$

Answer 3

Como saben, el logaritmo es la antiderivada de la función inversa, y no es de extrañar que la suma esté bien aproximada por la integral.

De manera más general, la fórmula de Euler-Maclaurin establece una relación precisa entre una suma y una integral.

Más términos son

PS

Answer 4

Tenemos:

$$ H_N-\log(N+1) = -\int_{1}^{N+1}\frac{dx}{x}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n} = \int_{1}^{N+1}\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right)\,dx $ $ pero la última integral es claramente convergente a alguna constante como$N\to +\infty$, ya que:$$\frac{\{x\}}{x\lfloor x\rfloor}=O\left(\frac{1}{x^2}\right).$ $

Answer 5

Como$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{n}+\int_1^n\frac{1}{\lfloor x\rfloor}dx$ y$\displaystyle\ln(n)=\int_1^n\frac{1}{x}dx$ concluimos

PS

Como$$\begin{array}{ll} \displaystyle H_n-\ln(n)-\frac{1}{n} & \displaystyle =\int_1^n\left(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right)dx \\ & \displaystyle =\int_1^n\frac{x-\lfloor x\rfloor}{\lfloor x\rfloor x}dx \\ & \displaystyle \le \int_1^n\frac{1}{\lfloor x\rfloor^2}dx \\ & \displaystyle = \int_1^2\frac{1}{\lfloor x\rfloor^2}dx+\int_2^n\frac{1}{\lfloor x\rfloor^2}dx \\ & \displaystyle \le 1+\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx \\ & = 2. \end{array} $ está aumentando (el integrando en la primera ecuación no es negativo) y está limitado, tiene algún límite. Esto implica que existe$H_n-\ln(n)-\frac{1}{n}$.

Sin embargo, la constante no es$\lim\limits_{n\to\infty}\left[H_n-\ln(n)\right]$. Es conocida como la constante de Euler-Mascheroni, aproximadamente$\frac{1}{2}$