Estoy estudiando análisis real y tengo algunos problemas en la comprensión de las propiedades de la medida de Hausdorff.
Deje $\mathcal{E}_\delta$ colección de subconjuntos de a $\mathbb{R}^N$ cuyo diámetro es menor que el $\delta$. Ahora $\mathcal{E}_\delta$ tiene la propiedad de que para cada $E \subseteq \mathbb{R}^N$ existe una contables de la colección de $\{ Q_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{E}_\delta$ tal que $E \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}Q_n$ (para ver esto, podemos observar que el $\mathbb{R}^N$ podría ser dividido en un numerable de unión de diádica cubos, cada uno con un diámetro arbitrariamente pequeño).
Ahora definir $$ \mathcal{H}_{\alpha,\delta}(E)=\inf \left\{ \sum_{n \in \mathbb{N}} \text{diámetro}(E_n)^\alpha \,\medio|\, E \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \ \text{y} \ \left\{E_n \right\} \subseteq \mathcal{E}_\delta \right\} $$ Por las propiedades de infimum podemos deducir que si $\delta_1 \le \delta_2$$\mathcal{H}_{\alpha,\delta_2}(E) \le \mathcal{H}_{\alpha,\delta_1}(E)$. Así que tiene sentido definir la Hausdorff exterior $\alpha$-medida de $E$ por $$\mathcal{H}_\alpha(E)=\sup_{\delta>0} \mathcal{H}_{\alpha,\delta}=\lim_{\delta \to 0^+}\mathcal{H}_{\alpha,\delta} $$ Ahora $\mathcal{H}_\alpha$ es una medida exterior, y si consideramos la colección de $\mathcal{A}$ de los conjuntos de $E \subseteq \mathbb{R}^N$ tal que $$\mathcal{H}_\alpha(A)=\mathcal{H}_\alpha(E \cap a) + \mathcal{H}_\alpha(A\setminus E), \ \ \forall \subseteq \mathbb{R}^N \ \ \ \ \ (*) $$ podemos demostrar (mediante la Extensión de Carathéodory Teorema) que $\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra, y nos dicen que $\mathcal{A}$ es la colección de Hausdorff $\alpha$-conjuntos medibles.
Ahora tengo dos preguntas:
- Hay alguna diferencia entre el $\mathcal{A}$ y la colección de Lebesgue medible?
- Hay algún subconjunto de $\mathbb{R}^N$ que no es Hausdorff $\alpha$medible?
Para responder a la segunda pregunta que me he llevado $(*)$, que para la sub-aditividad de la medida exterior mantiene siempre con el signo $\le$ en lugar de $=$ y miré para un subconjunto $E$ $\mathbb{R}^N$ para los que existe un subconjunto $A$ $\mathbb{R}^N$ tal que $(*)$ mantiene con desigualdad estricta. Para el candidato de $E$ me he tomado el conjunto de Vitali $V$, y para el conjunto de $A$ me tome el conjunto $$A= \bigcup_{q \in (-1,1) \cup \mathbb{Q}} V+q$$ donde $V+q$ es la traducción de Vitali (como la prueba de que $V$ no es Lebesgue medible). Yo fácil ver que $V+q_1 \cap V+q_2=\emptyset$ si $q_1 \neq q_2$. Ahora lo que se debe comprobar es la que sostiene la desigualdad estricta $$ \mathcal{H}_{1}(A)<\mathcal{H}_1(V)+\mathcal{H}_1 \left(A \setminus V\right)$$
Donde $$A \setminus V =\bigcup_{q \in(-1,1) \cap \mathbb{Q}\setminus \{0\} } V+q $$ Ahora$V \subseteq (0,1)$,$A \subseteq (-1,2)$, por lo que para la sub-aditividad $\mathcal{H}_1(V) \le 1$$\mathcal{H}_1(A) \le 3$, y si podemos demostrar que $\mathcal{H}_1(A \setminus V)=\mathcal{H}_1(A)$ $\mathcal{H}_1(V)>0$ hemos terminado. Pero si el anterior razonamiento eran falsas y el conjunto de Vitali fueron Hausdorff $1$-medible, entonces la primera pregunta tiene respuesta.
