Conjetura $\int_0^1\frac{\ln\left(\ln^2x+\arccos^2x\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx\stackrel?=\pi\,\ln\ln2$

Question

$$\int_0^1\frac{\ln\left(\ln^2x+\arccos^2x\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx\stackrel?=\pi\,\ln\ln2$$ Es posible demostrar esto?

Answer 1

Sustituto $x \mapsto \cos x$ para obtener un equivalente formulación:

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(x^{2} + \log^{2}\cos x) \, dx = \pi \log \log 2. $$

Usted puede encontrar mi solución aquí.

Answer 2

Sugerencia: tenga en cuenta que $$\ln^2\cos t+t^2=\ln^2\cos t-\ln^2 e^{it}=(\ln e^{it}\cos t)(\ln e^{-it}\cos t)$$ A continuación, vamos a $ e^{2it}=s$ para obtener una integral de contorno que rodea el simple poste de $s=0$