Estoy leyendo este texto http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma225/handouts/sepvar.pdf para justificar el método para resolver ecuaciones diferenciables de primer orden, donde se nos dice primero que 
y luego: 
Ahora bien, aunque puedo entender 1), me cuesta entender cómo exactamente la integral del lado izquierdo de 3) se eleva a $$\int n(y) dy$$ desde $\frac{dy}{dx}$ no puede ser tratado como una fracción.
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@mvw ¿Puedes aclararlo, por favor?
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Creo que es sólo una cuestión de sustitución. Usted tiene $\int_0^x n\big(y(\tilde x)\big) y'(\tilde x) \mathrm d \tilde x $ y sustituirlo por $ t := y(\tilde x), \mathrm d t = y(\tilde x)'\mathrm d \tilde x$ para obtener $\int_{y(0)}^{y(x)} n(t)\mathrm d t $
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Tenga en cuenta que es increíblemente engañoso decir "integrar ambos lados con respecto a $x$ " como lo hace el texto. Se está integrando con respecto a algún parámetro, tal que los límites de integración son $x_0$ (normalmente a cero) y $x$ . De este modo, la integración da lugar a una expresión como $F(y(x),y(x_0))=G(x,x_0)$ que, con suerte, puede invertirse para obtener $y(x)=H(x,x_0,y(x_0))$ . Por alguna razón, muchos textos lo presentan así, especialmente los dirigidos a las aplicaciones o a la física. Pero el objetivo es tener $x$ como el límite de la integración, ¡para poder invertir para la solución!
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@krvolok Muchas gracias, en realidad me preguntaba si intuitivamente tiene sentido integrar ambos lados con respecto a ambos lados.
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@krvolok Me preguntaba cómo podemos justificar en este caso que dt es igual a dy, o puede ser tratado como dy? ¿Tratamos y como t?
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@krvolok Lo siento, no hace falta que me contestes, ya he visto lo que querías decir.