Demostrar que cualquier permutación en $S_n$ puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos

Question

He intentado una prueba de esto, pero al mirar mis notas, creo que podría ser incorrecta: es notablemente más simple que la de mis notas.

Propuesta: cualquier permutación en $S_n$ puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos.

Prueba (intento): $s\in S_n$ . Dejemos que $\langle s\rangle$ actuar $X=\{1,\cdots,n\}$ . Definir $x\sim x'\iff x'\in\text{Orb}(x)$ para $x,x'\in X:$ se trata claramente de una relación equivalente, por lo que la partición de las órbitas $X$ . A cada órbita le corresponde un ciclo en $s$ Así que hemos terminado.

¿Se mantiene esto, o me he perdido algo vital?

Answer 1

La prueba es efectivamente correcta. Hay una buena intuición detrás de esto:

Se puede interpretar una permutación como un grafo dirigido: Los nodos son los números $1,\dots,n$ y hay una flecha desde $a$ a $b$ si la permutación $\pi$ mapas $\pi(a)=b$ . Se trata de un grafo funcional y, como el número de nodos es finito y el mapa es uno a uno, cada nodo tiene exactamente una arista de entrada y otra de salida. Está claro que este grafo debe ser un conjunto de ciclos disjuntos (de ahí su nombre).

Por supuesto, esto es sólo una imagen a la prueba, para mostrar de dónde viene. La prueba es correcta porque podemos comprobar fácilmente que $S_n$ efectivamente actúa sobre $X$ y las órbitas son ciclos.

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EDIT: Alguien pidió una foto real, no sólo un boceto de la prueba. Así que añado una mostrando el gráfico correspondiente de la permutación $\left(\begin{eqnarray} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 \\ 8&6&5&9&3&10&4&7&1&2 \end{eqnarray}\right)$ .

Answer 2

Si, al demostrar este teorema, se dispone de la noción de acciones de grupo y órbitas explicada anteriormente, y si se han definido los "ciclos" de esta manera, entonces sí que la demostración es válida. Sin embargo, en la progresión de un curso típico de álgebra, este teorema se cubre antes de que esas "herramientas" estén disponibles, de ahí la necesidad de una demostración más "complicada".