Norma de combinación lineal de vectores en la "misma dirección general".

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio vectorial (un espacio de Banach si es necesario) y $x, y \in X$ tal que $||x|| \leq ||x + y||$$||y|| \leq ||x + y||$. (Intuitivamente, esto significa $x$ $y$ están en la "misma dirección", ya que ni acorta la longitud de los otros).

Aquí es lo que quiero:

Para $c > 0$, $||x|| \leq ||x + (1 + c)y||$ y $||(1 + c)y|| \leq ||x + (1 + c)y||$. Es decir, si dos vectores son de la "misma dirección", entonces, si usted alargar uno de ellos el resultado es todavía en la "misma dirección". Estoy bastante seguro de que esto es cierto, aunque un contra-ejemplo sería tan apreciado como una prueba.

Aquí es lo que tengo hasta ahora, (gracias a un profesor):

El uso de Hahn-Banach para normalizar el vector $x + y$ $f \in X^*$ tal que $f(\cdot) \leq ||\cdot||$$f(x + y) = ||x + y||$. A continuación, tenga en cuenta que $f(x) \leq ||x|| \leq ||x + y|| = f(x + y) \implies f(y) > 0$.

Ahora $||x|| \leq ||x + y|| = f(x + y) \leq f(x + y) + cf(y) = f(x + (1 + c)y) \leq ||x + (1 + c)y||$. Esta es la primera deseada de la desigualdad.

También puedo conseguir $||y|| + cf(y) \leq ||x + y|| + cf(y) = f(x + y) + cf(y) = f(x + (1 + c)y) \leq ||x + (1 + c)y||$

Sin embargo, estoy teniendo problemas con el fortalecimiento de esta a la deseada de la segunda desigualdad. Esto no es un problema que se me fue asignado en clase, algo que pensé en mi propia. También no es 100% seguro de que es cierto. Cualquier consejo o ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La afirmación no es cierta en general. Y creo que parece cierto porque su imagen intuitiva de$x$ y$y$ en la "misma dirección" no es lo que implican las condiciones$||x|| \leq ||x + y||$ y$||y|| \leq ||x + y||$. Daré un contraejemplo en$\mathbb{R}^2$ en sí mismo:

Toma los vectores, en las coordenadas$(r,\theta)$, para que sean$x = (1,0)$ y$y = (1, \frac{2\pi}{3})$. Entonces$x+y = (1, \frac{\pi}{3})$ satisface las condiciones dadas, aunque$x$ y$y$ no están en la "misma dirección general". Es fácil demostrar ahora que para cualquier $c > 0$, tenemos$||(1 + c)y|| > ||x + (1 + c)y||$.