Relación entre raíces y coeficientes - manipulación de identidades

Question

El polinomio $x^3+3x^2-2x+1$ tiene raíces $\alpha, \beta, \gamma$. Encuentra $$\alpha^2(\beta + \gamma) + \beta^2(\alpha + \gamma) + \gamma^2(\alpha + \beta)$$

Intenté encontrar la relación usando $-b/a$, $c/a$ y $-d/a$. No pude encontrar nada. También intenté resolver para una raíz, pero me devolvió el polinomio pero con la raíz como la variable. Además, el polinomio no se puede factorizar.

Answer 1

Dado que el polinomio tiene tres raíces y su grado más alto es 3, podemos escribir $$ p(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = x^3 +3x^2 - 2x + 1. $$ Entonces se sigue que $$ x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha\beta \gamma = x^3+3x^2-2x + 1 $$ que $$ \alpha+\beta+\gamma = -3, \quad \alpha\beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -2, \quad \alpha\beta \gamma = -1. $$ Observa que $$ -2\alpha = \alpha(\alpha\beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = \alpha^2(\beta+\gamma) +\alpha\beta\gamma = \alpha^2(\beta+\gamma) - 1. $$ Por lo tanto $\alpha^2(\beta + \gamma)=1-2\alpha$. De manera similar, $\beta^2(\alpha + \gamma) = 1-2\beta$ y $\gamma^2(\alpha + \beta) = 1-2\gamma$. Por lo tanto, \begin{align} \alpha^2(\beta + \gamma) + \beta^2(\alpha + \gamma) + \gamma^2(\alpha + \beta) &= (1-2\alpha) + (1-2\beta) + (1-2\gamma) \\ &= 3 -2(\alpha+\beta+\gamma) = 3 +6 =9. \end{align}

Answer 2

Cualquier función simétrica (polinómica) de las raíces se puede expresar en términos de los coeficientes de Vieta. Aquí, verifica la pista: $$\sum \alpha^2(\beta+\gamma) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)-3\alpha\beta\gamma$$

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En caso de que desees un método sistemático para expresar en términos de polinomios simétricos elementales, revisa esta respuesta para el algoritmo de Gauss.

Answer 3

$a,b,c$ son las tres raíces. $$ \begin{align} &a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)\\ ={}&(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\\ ={}&(-3)*(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^3\\ ={}&(-3)*((a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc)-(a+b+c) * (a^2+b^2+c^2) + ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)\\ ={}& (-3)*(9-2*(-2))-(-3)*(9-2*(-2)) + ab(a+b+c-c) + ac(a+b+c-b) + bc(a+b+c-a)\\ ={}&(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc\\ ={}&(-3)*(-2)-3*(-1)\\ ={}&6-(-3)\\ ={}&9 \end{align} $$