Demuestre que$\alpha^2 + \alpha - 1$ es un divisor cero en$R$

Question

Estudiando para mi examen de álgebra y mirando a través de viejos ejercicios de examen encontré el siguiente problema

Deje$f = X^4 + 1$,$g = X^2 + X - 1 \in \mathbb{F}_3[X]$ y$\alpha = X + \langle f \rangle \in \mathbb{F}_3[X]/\langle f \rangle$.

a) Encuentre un polinomio$h \in \mathbb{F}_3[X]$ tal que$f = gh$ y muestre que$g$ y$h$ son irreductibles.

b) ¿Cuál es el tamaño de$\mathbb{F}_3[X]/\langle f \rangle$? Demuestre que$\alpha^2 + \alpha - 1$ es un divisor cero en$\mathbb{F}_3[X]/\langle f \rangle$

Ya resolví a y encontré$\lvert \mathbb{F}_3[X]/\langle f \rangle \rvert = 81$ para la parte b, pero no estoy seguro de cómo mostrar que$\alpha^2 + \alpha - 1$ es un divisor cero

Answer 1

Sugerencia: $g(\alpha)h(\alpha)=f(\alpha)$

Answer 2

Para reformular la respuesta de Berci en términos más pedagógicos:

El punto del anillo de cociente$\mathbb{Z}/\langle 6\rangle$ es que 6 se convierte en 0. Dado que 6 factores como$6=2\cdot 3$ en$\mathbb{Z}$, esto significa que en el cociente$\mathbb{Z}/\langle 6\rangle$,$2$ y$3$ se convierten en divisores cero.

El punto del anillo de cociente$\mathbb{F}_3[X]/\langle f\rangle$ es que$f$ se convierte en 0 ...

Answer 3

Esta situación es análoga a considerar el anillo de cociente$\Bbb Z/(a\cdot b)$ donde$a$ y$b$ son primos (irreducibles). En el homomorfismo canónico$\Bbb Z\to \Bbb Z/(a\cdot b)$ sabemos que exactamente$a\cdot b$ y sus múltiplos van a cero. En particular, ni$a$ ni$b$ lo hacen, por lo que en otras palabras, en el anillo del cociente tenemos$[a],[b]\ne 0$ pero$[ab]=0$. (P.ej $2\cdot 3=0 \pmod6$)

Exactamente lo mismo sucede aquí: en$\Bbb F_3[X]/(gh)$ tenemos$[g],\,[h]\ne 0$ pero$[gh]=0$.