Probando la multiplicatividad de una forma cuadrática binaria.

Question

Considere el conjunto$S$ de todos los enteros de la forma$x^2+y^2+4xy$, donde$x$ y$y$ son enteros. ¿Cómo se podría probar que el conjunto$S$ está cerrado en la multiplicación? He intentado el método de fuerza bruta bashy, pero en vano. Tal vez alguien podría ayudar?

Answer 1

PS

PS

PS

EDITAR: la primera fórmula se puede usar para mostrar que los enteros de la forma $$x^2+4xy+y^2=(7x+2y)^2-3(4x+y)^2$ son iguales a los enteros de la forma$$ (a+b\sqrt3)(c+d\sqrt3)=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt3$. La tercera fórmula muestra que el conjunto de enteros de la forma$$(a^2-3b^2)(c^2-3d^2)=(ac+3bd)^2-3(ad+bc)^2$ está cerrado en la multiplicación. La segunda fórmula es solo algo que tengo que escribir para llegar a la tercera fórmula.

Answer 2

Sugerencia I:
$X^2+4XY+Y^2=(X+2Y)^2-3Y^2$.
Pista II:
Identidad de Bramagupta :$(p^2-3q^2)(r^2-3s^2)=(pr\pm 3qs)^2-3(ps\mp qr)^2$, para$p$,$q$ enteros.
Si esto no es suficiente, dime, o si hay errores. Gracias por adelantado.