Grupo de orden aleatorio $4096$ con un centro de tamaño $2$

Question

¿Cómo puedo crear un grupo aleatorio de orden $4096$ con un centro de tamaño $2$ ?

El algoritmo debería ser capaz de crear todos los grupos posibles con las propiedades dadas en principio. Creo que la lista de grupos con las propiedades requeridas es demasiado grande y probablemente ni siquiera se conoce.

He probado los productos semidirectos. Pero, en primer lugar, sólo puedo producir una pequeña parte de los grupos posibles con eso y, en segundo lugar, o hay demasiados homomorfismos (y no sé si GAP puede elegir un homomorfismo al azar) o los grupos que obtengo tienen un centro con un tamaño mayor que $2$ .

No he encontrado un comando en GAP que construya un grupo aleatorio de un orden determinado, si la lista de todos los grupos no está disponible.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Esta puede ser una forma de lograr el objetivo deseado, pero no pretendo que sea la mejor. (Sea cual sea el significado de "mejor")

Primero, algo de trabajo. Higman contó el número de $p$ -grupos de clase 2 (longitud del exponente inferior- $p$ serie es 2) de orden $p^n$ y concluyó que hay al menos $p^{2(n^3-6n^2)/27}$ tales grupos. Por lo tanto, hay al menos $2^{64}$ grupos de orden $4096$ .

Si quieres un $2$ -grupo con centro de orden $2$ entonces el $p$ -clase del grupo puede ir de 3 a 12. Si la $p$ -clase es 2, entonces el subgrupo Frattini es un subgrupo central, y en este caso es igual al centro. Por lo tanto, $G$ es $11$ -generado y $G'=Z(G)=\Phi(G)$ Así que $G$ es extraespecial lo que no puede ser cierto. Alternativamente, el mapa conmutador es una forma simpléctica de un espacio dimensional impar, y por lo tanto, tiene un radical. Por lo tanto, el centro tiene más de 2 elementos.

Si el $p$ -la clase es $c\in\{3,...,12\}$ entonces $G$ es un cociente central del $p$ -que cubre el grupo de $G/P_c(G)$ . En concreto, si $P$ es el $p$ -que cubre el grupo de $G/P_c(G)$ , entonces para algunos $H<Z(P)$ con $[Z(P):H]=2$ , $G\cong P/H$ . (Detalles: https://en.wikipedia.org/wiki/P-group_generation_algorithm )

La siguiente cuestión a tener en cuenta es la distribución. Parece que cuanto más grande sea el $p$ -clase, el menor número de grupos delimitados por un orden específico. No creo que se haya demostrado una afirmación como ésta, pero hay datos que respaldan esta creencia. Por lo tanto, parece que la mayoría de los grupos con un centro de orden 2 serían $p$ -clase 3. Por lo tanto, aplicando una distribución uniforme a $p$ -clase no daría lugar a una distribución uniforme entre los grupos de orden $4096$ y centro del orden $2$ . No estoy seguro de si te interesa esto, pero vale la pena mencionarlo.

Con estas ideas, una forma de generar un grupo aleatorio sería la siguiente (esto es básicamente el $p$ -(algoritmo de generación de grupos).

1. Elija al azar el $p$ -clase: $c$ .
2. Elige al azar $c-1$ enteros positivos cuya suma es $11$ : $d_1,...,d_{c-1}$ .
3. Construir un grupo aleatorio $G$ de $p$ -clase $2$ , orden $d_1+d_2$ y generado por $d_1$ elementos.
4. Construir el $p$ -que cubre el grupo de $G$ : $P$ .
5. Construir un subgrupo central aleatorio $H$ de $P$ , donde $[Z(P):H]=d_3$ , y establecer $G=P/H$ .
6. Para todos los demás $d_4,...,d_{c-1}$ Haga de nuevo los pasos 4 y 5.
7. Construir el $p$ -que cubre el grupo de $G$ .
8. Construir un subgrupo central aleatorio $H$ de $P$ , donde $[Z(P):H]=1$ .
9. $G=P/H$ .

Es posible que en algún momento de esto, el grupo sea terminal. Es decir, es igual a su $p$ -cubierta. Si esto ocurre, vuelva a empezar o retroceda.

Para construir un grupo aleatorio de $p$ -clase 2, basta con construir $d_2$ al azar $d_1\times d_1$ junto con un mapa cuadrático de un $d_1$ espacio vectorial dimensional en un $d_2$ espacio vectorial dimensional. No estoy seguro de si GAP tiene comandos para hacer esto, pero si $d_1+d_2\leq 9$ , entonces se puede elegir un $p$ -grupo de clase 2 de las bases de datos en GAP y partir de ahí.