La famosa "cita del diablo" de Abel

Question

Hay una famosa frase de Abel:

Divergente la serie son, en general, algo fatal, y es una desgracia a base de prueba alguna sobre ellos.

La primera parte es a menudo traducido libremente como "Divergente de la serie son una invención del diablo". Con frecuencia se presenta como una introducción de la cita en la escuela primaria de los textos en general summability técnicas. Sólo un ejemplo al azar. Y otro.

Pero ¿qué fue exactamente lo Abel decir con esto? Fue él, de hecho, tan corto de miras en este caso que él no concibe la más general de interpretación de la serie como un mapa (opcional con regularidad restricciones) de la suma parcial de secuencias (complejo) de los números? Es una interpretación filosófica? O es tomado de (histórico) contexto? Principalmente estoy confundido porque uno de los más conocidos de primaria summability métodos se deriva directamente de uno de sus propios teoremas, y es, de hecho, nombrado después de él: Abel summability.

Answer 1

El original en francés comilla de Abel, contenida en una carta a su antiguo profesor Holmboe (16 de enero de 1826), es como sigue:

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y afectuosos aucune démonstration. En peut démontrer tout ce qu'on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tante de malheurs et qui ont enfanté tante de paradojas...Enfin mes yeux se sont dessillés d'une manière frappante, alquiler à l'exception des cas de les más simples, par exemple les séries géométriques, il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune série infinie, no somme soit déterminée d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire que la partie la más essentielle des mathématiques est sans fondement. Vierta la más grande partie les résultats sont justes il est vrai, mais c'est là une eligió bien étrange. Je m'occupe à es chercher la raison, problème très interessant.

La traducción al inglés

Divergente de la serie son, en general, algo terrible y es una vergüenza para la base de cualquier prueba sobre ellos. Podemos probar nada por el uso de ellos y que han causado tanta miseria y creado para muchas paradojas. . . Finalmente mis ojos se abre de repente, ya que, con la excepción de la casos más simples, por ejemplo la serie geométrica, casi no encontramos, en matemáticas, cualquier infinita la serie cuyo monto será determinado en una rigurosa moda, lo que significa que la mayoría de los esenciales parte de las matemáticas no tiene ningún fundamento. Para la mayor parte, es cierto que los resultados son correcto, lo cual es muy extraño. Estoy trabajando para averiguar por qué, una muy interesante problema.

Así, Abel estaba principalmente preocupado con la paradójica naturaleza de la divergencia de la serie, tales como $$1-1+1-1 \ldots = \begin{cases} (1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots =0 \\ 1+ (-1+1)+ (-1+1)+ \ldots =1 \end{cases}$$, ya que en su tiempo conceptos tales como el de Cesaro suma o la de Riemann del teorema de reordenamiento de condicionalmente convergente la serie todavía no se habían descubierto (de hecho, Abel murió en 1829, mientras que la de Riemann nació en 1826 y Cesaro en 1859). Esta preocupación le empujó en la investigación de la naturaleza de la convergencia y la llevó a su célebre summability métodos.

Una interesante discusión de la divergencia de la serie, precisamente a partir de Abel citar, está contenida en C. Rousseau preprint Divergente la Serie: pasado, presente, futuro, arXiv:1312.5712.