QHO en Microcanonical Conjunto: Problema con la alternativa de derivación

Question

Estoy trabajando a través de Franz Schwabl, el libro de la Mecánica Estadística, y que tiene un número de derivaciones de magnitudes termodinámicas que son diferentes de los que he visto antes. También estoy teniendo dificultades para encontrar ellos repetidos en otros lugares.

En particular, él tiene un método para el cálculo de $\Omega(E)$, el número de estados con una energía dada $E$, de una serie de $N$ independiente Cuántica Osciladores Armónicos ($\mathcal{H} = \sum_{j=1}^N\hbar\omega(n_j+\frac{1}{2})$) que yo no había visto antes. Procedimiento a partir del resultado

$$\Omega(E) = \mathrm{Tr}\,\delta(\mathcal{H}-E)=\sum_{n_1=0}^{\infty}\cdots\sum_{n_N=0}^{\infty}\delta\left(E - \hbar\omega\sum_{j=1}^N\left(n_j+\frac{1}{2}\right)\right),$$

mi estrategia sería combinatoric: el delta función de los turnos de restricciones sumas de $n_j$ a una restricción en el número total de quanta. Calcular el número de maneras en que usted puede particionar $n=\sum_{j=1}^Nn_j$ quanta de energía entre la $N$ osciladores da $\Omega(E)$. Esta es la forma en que lo hicimos en pregrado stat mech.

Schwabl del enfoque procede de manera diferente: tomando la transformada de Fourier de la función delta, se obtiene

$$\Omega(E) = \int \frac{dk}{2\pi}e^{ikE}\prod_{j=1}^N\left(e^{-ik\hbar\omega/2}\sum_{n_j=0}^{\infty}e^{-ik\hbar\omega n_j}\right)=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ikE}\left(\frac{e^{-ik\hbar\omega/2}}{1-e^{-ik\hbar\omega}}\right)^N,$$

donde este último paso consiste en sumar una divergentes serie geométrica, declarando $$\sum_{\ell=0}^{\infty}e^{-i\alpha\ell} = \frac{1}{1-e^{-i\alpha}}$$ e ignorando el hecho de que esta serie no puede converger en un sentido convencional.

Esto se simplifica a $$\Omega(E) = \int\frac{dk}{2\pi}e^{N(ik(E/N) - \log(2i\sin(k\hbar\omega/2)))}$$

que se resuelve mediante el uso de la silla de montar-punto de aproximación. La máxima de que el argumento de la exponencial se produce en un valor

$$k_0 = \frac{1}{\hbar\omega i}\log\frac{\frac{E}{N}+\frac{\hbar\omega}{2}}{\frac{E}{N}-\frac{\hbar\omega}{2}}$$

Lo que es claramente imaginario, a pesar del hecho de que en una transformada de Fourier $k$ se supone debe ser un número real!

A pesar de todo esto, si se evalúa la integral utilizando el punto de silla aproximación a $k=k_0$, se obtiene de la misma forma para $\Omega(E)$ que se deriva por el jardín-variedad combinatoria argumento!

Mi pregunta(s) son

¿Por qué funciona esto? Específicamente:

• ¿Por qué tiene sentido para escribir la convergencia de una divergente serie geométrica en la forma dada aquí (está confiando en algún sentido de la convergencia más allá de los propios, y si es así, ¿qué? Y ¿qué es lo que implica la convergencia en stat mech?), y

• ¿Por qué se puede utilizar el punto de silla de aproximación cuando el valor máximo no se produce en el espacio sobre el que se está integrando?

Las respuestas a esta pregunta puede confiar en las apelaciones a otras situaciones en las que las matemáticas se produce y se ha racionalizado, físicamente si no matemáticamente.

Answer 1

I) Si esperamos a $\Omega(E)$ a depender analíticamente en la variable $\hbar\omega>0$ extendido a (parte de) el plano complejo, entonces podemos regularizar mediante la introducción de una $i\epsilon$ receta, y el sustituto de la

$$\tag{1} \hbar\omega ~\longrightarrow ~ \hbar\omega (1-i\epsilon). $$

La variable

$$\tag{2} q~:=~ e^{-i\hbar\omega k}~\longrightarrow ~ e^{-(i+\epsilon)\hbar\omega k} $$

en la serie geométrica

$$\tag{3} \sqrt{q}\sum_{n=0}^{\infty} q^n $$

a continuación, tendrá

$$\tag{4} |q|~<~1,$$

de modo que la serie geométrica (3) es convergente. Luego de todos los pasos en Schwabl la derivación de $\Omega(E)$ son matemáticamente bien definido. Al final del cálculo de $\Omega(E)$, podemos poner de $\epsilon=0$.

II) con Respecto a un complejo (como contraposición a la real) solución estacionaria en el método de steepest descent/ fase estacionaria método/silla-método de punto, esto es sólo una parte del método. Por un riguroso argumento, habría que consultar a la prueba del método. De forma heurística, es porque cuando se evalúa la integral de Gauss sobre 'las fluctuaciones cuánticas'

$$\tag{5} \int_{\mathbb{R}} \! dx~ e^{-\frac{a}{2}x^2+bx} ~=~\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\exp\left(\frac{b^2}{2a}\right),$$

para los dos complejos de constantes $a,b\in\mathbb{C}$, sólo se necesita la condición

$$\tag{6} {\rm Re}(a)~>~0$$

para garantizar la convergencia de la integral (5). No hay necesidad de suponer también que la solución estacionaria $\frac{b}{a}$ es real. La ecuación (5) se sigue del hecho de que

$$\etiqueta{7} \alpha\int_{\mathbb{R}} \! dx~e^{-\frac{1}{2}(\alpha x+\beta)^2} ~=~\int_{\gamma} \! d(\alpha x+\beta)~ e^{-\frac{1}{2}(\alpha x+\beta)^2} ~=~ \int_{\mathbb{R}} \! dx~ e^{-\frac{1}{2}x^2}~=~\sqrt{2\pi}$$

para cualquier línea recta en el plano complejo

$$\etiqueta{8} \gamma(x)~=~\alpha x+\beta \qquad \alpha,\beta~\~\mathbb{C}\qquad x~\~\mathbb{R}, $$

con pendiente

$$\tag{9} |\arg(\alpha)|<\frac{\pi}{4},$$

porque en ese caso, es posible cerrar el contorno a lo largo exponencialmente suprimida arcos.