¿Mi definición de una exponencial como función de algún sentido?

Question

La definición de la función exponencial se basa en una serie infinita $$ e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} $$ Para hacer las cosas más complicadas, podríamos sustituir el factorial con la función Gamma $$ e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{\Gamma(k+1)} $$ La ventaja de la función Gamma es la que se ha definido también para valores continuos, por lo que tenemos la tentación de sustituir la infinita suma con un integrante del $$ \epsilon^x = \int_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{\Gamma(k+1)}dk $$ Resulta que esta definición es algo similar a la función exponencial, pero no es lo mismo. La constante de $\epsilon$ es calculado por Wolfram Alphacomo $$ \epsilon = \int_{k=0}^{\infty}\frac{1^k}{\Gamma(k+1)}dk = 2.2665345... $$ pero a partir de la integral tenemos $$ \epsilon^0 = \int_{k=0}^{\infty}\frac{0^k}{\Gamma(k+1)}dk = 0 $$ lo que parece estar en contradicción con la regla de $a^0 = 1$ por cada $a\neq 0$.

Así es mi definición de integral para $\epsilon^x$ consistentes en todos los? ¿Cómo funciona la integral se comportan de $x \rightarrow \pm\infty$ ? Hay alguna literatura sobre este tipo de integral y la relación con la definición de la función exponencial?

Answer 1

Su integral $\ \int_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{\Gamma(k+1)}dk\ $ está perfectamente bien definido para $\ x \ge 0\ $. Para $\ x < 0\ $ te encuentras con el problema de que no existe una única definición para $\ x^k\ $ cuando $\ k\ $ no es un número entero. En general, hay varios valores posibles, $\ \vert x\vert^k\,e^{(2n\pi+1)k i}\ $, a elegir por ella, y estos becone en número infinito si $\ k\ $ es irracional. Aquí, $\ n\ $ puede ser cualquier número entero, pero si usted sólo tiene que elegir un determinado valor ($\ n=0\ $, por ejemplo), entonces la integral será bien definido para $\ x < 0\ $ como bueno, aunque suelen ser valores complejos en ese caso.

Usted no tiene motivos, sin embargo, para la asunción de que la integral se tiene el valor de $\ \ \left(\int_{k=0}^{\infty}\Gamma(k+1)^{-1}dk\right)^x\ $, como un par de comentaristas ya han señalado, y, de hecho, no, excepto cuando se $\ x=1\ $, por lo que la aparente incoherencia que puzzles que ha dado lugar a partir de esta suposición, más que de cualquier problema con la definición de la integral de la misma.

Usted puede mostrar que la integral es bien definido para $\ x \ge 0\ $, y obtener los límites para que, mediante la observación de que $ \frac{x^k}{\Gamma(k+1)}\ $ es acotada y continua para $ k\ge0\ $, y para $\ 0\le i\le k\le i+1 $ tenemos $\ i\,! \le \Gamma\left(k+1\right) \le \left(i+1\right)\,!\ $ e $\ x^i \le x^k \le x^{i+1}\ $ si $\ x \ge 1\ $o $\ x^{i+1} \le x^k \le x^i\ $ si $ x < 1\ $. Por lo tanto, $ \frac{x^i}{\left(i+1\right)\,!} \le \frac{x^k}{\Gamma\left(k+1\right)} \le \frac{x^{i+1}}{i\,!}\ $ si $\ x \ge 1\ $, e $ \frac{x^{i+1}}{\left(i+1\right)\,!} \le \frac{x^k}{\Gamma\left(k+1\right)} \le \frac{x^i}{i\,!}\ $ si $ x < 1 $.

Así, por $\ x\ge 1\ $, $$\sum_{i=0}^r \frac{x^i}{\left(i+1\right)\,!}\le \ \int_{k=0}^{r+1}\frac{x^k}{\Gamma(k+1)}dk\ \le \sum_{i=0}^r \frac{x^{i+1}}{i\,!}\le x\,e^x\ \ ,$$ de modo que la integral converge como $\ r\rightarrow\infty\ $, es acotado abajo por $\ \frac{e^x-1}{x}\ $ y por encima de por $\ x\,e^x\ $.

Por otro lado, para $\ x < 1\ $, $$\sum_{i=0}^r \frac{x^{i+1}}{\left(i+1\right)\,!}\le \ \int_{k=0}^{r+1}\frac{x^k}{\Gamma(k+1)}dk\ \le \sum_{i=0}^r \frac{x^i}{i\,!}\le e^x\ \ ,$$ de modo que la integral de nuevo converge como $\ r\rightarrow\infty\ $, es acotado abajo por $\ e^x-1\ $ y por encima de por $\ e^x\ $.