Cuando se $\mathbb{Z}[\alpha]$ denso en $\mathbb{C}$?

Question

Deje $\alpha$ ser un nonreal algebraica de números. Estoy interesado en las condiciones que implica que $\mathbb{Z}[\alpha]$ es denso en $\mathbb{C}$. Estoy particularmente interesado algebraicas entero $\alpha$.

Esto es lo que sabemos hasta ahora:

• si hay un $n \in \mathbb{N}$ tal que $\alpha^n \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}[\alpha]$ es denso en $\mathbb{C}$;
• algebraica de números enteros de grado dos que no cumplen la condición, aunque algebraicas nonintegers de grado dos de mayo.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Si y sólo si $\alpha$ tiene un grado mínimo de $3$ o tiene un grado $2$ y no es un entero algebraico. La clave lema es que un subgrupo $A$ de un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $V$ tal que $A$ abarca $V$ es discretas o densa en un subespacio de $V$, y en el primer caso es isomorfo a $\mathbb{Z}^n$ donde $n = \dim V$. Ahora observe que el $\mathbb{Z}[\alpha]$ es isomorfo a $\mathbb{Z}^2$ si y sólo si $\alpha^2$ es un número entero combinación lineal de $\alpha$ $1$ y que, además, $\mathbb{Z}[\alpha]$ no puede ser denso sólo en un $1$-dimensiones subespacio porque para cualquier subespacio también debe ser denso en $\alpha$ veces que el subespacio.