Distribución de la proporción de un cuadrado Gamma variable a otra variable aleatoria Gamma

Question

Estoy tratando de encontrar una distribución de (promedio) de las velocidades v en la red capilar donde yo sé los diámetros d así como el capilar de longitudes l son de gamma distribuido y la velocidad media en un capilar está relacionado a través de v~d2/l (supongo constante de las diferencias de presión). Sé que la relación de dos distribuciones gamma termina en una beta primer distribución. Sin embargo no estoy seguro de qué hacer con la plaza.

En forma concisa: Vamos a

$$Y = \frac{X^2}{Z} \quad \text{ where} \quad X \sim \text{Gamma}(a,b) \quad \text{ and } \quad Z \sim \text{Gamma}(\alpha,\beta)$$ What's the distribution of $Y$?

Answer 1

Si $X$ $Z$ son independientes, escribir la pregunta:

$$Y = \frac{X^2}{Z} = W V \quad \text{ where } W = X^2 \quad \text{ and } \quad V = \frac{1}{Z}$$

Then, $W$ has pdf $f(w)$:

y $V \sim \text{InverseGamma}(\alpha, \beta)$ con pdf $g(v)$:

A continuación, el pdf del producto $Y = W V$ puede ser obtenida como $h(y)$:

donde yo estoy usando el TransformProduct función de mathStatica/Mathematica para hacer los detalles gritties, y HypergeometricU[a,b,z] denota la función hipergeométrica confluente $\frac{1}{\Gamma(a) }\int _0^{\infty } t^{a-1} (1+t)^{b-a-1} e^{-tz} d t$, que es relativamente compacto en comparación con otros enfoques. Si esta es una tarea problema, me gustaría evitar la firma para la que, por supuesto :)

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Rápido de Monte Carlo de verificación - en contra de la solución teórica derivada de la anterior, cuando se $a =4$, $b = 3$, $\alpha = 1.1$, y $\beta = 7$

Se ve bien :)