Inadecuado Integral : $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{x\sin x}$?

Question

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sin x}$$

¿Cómo puedo explicar que esta integral diverge?

Answer 1

En $(0,\pi/2)$ hemos $$ 0<\sin x\leq x\quad\mbox{para}\quad\frac{1}{x\sin x}\geq \frac{1}{x^2}. $$

Ahora $$ \int_0^{\pi/2}\frac{1}{x^2}dx $$ diverge.

Así que su integral diverge en $0$.

Answer 2

La forma más fácil de ver que esta integral diverge está mirando a $x=0$:, $\sin{x} \sim x$, por lo que la integral cerca de $x=0$$1/x^2$, que es un no-integrable singularidad de allí, es decir,$\lim_{\epsilon \rightarrow o}\int_\epsilon^1 dx/x^2 = \lim_{\epsilon \rightarrow o} (-1/\epsilon)$, que diverge.

Answer 3

Deje $0<b<\pi$ y considerar la posibilidad de $\int_0^b\frac{dx}{x\sin x}$. Nothe que $$\lim_{x\to 0^+}(x-0)^1\times\frac{1}{x\sin x}$$ tiende a infinito, por lo que mediante la prueba de comparación, diverge.