¿Qué es $(-1)^\sqrt{2}$?

Question

Cómo hacer que la razón de que $(-1)^\sqrt{2}$ es un número complejo, basado en las siguientes declaraciones:

1. $(-1)^{p/q}$ es un número complejo si $p$ es impar y $q$ es aún enteros.
2. Los números racionales son densos en la recta real.
3. Exponencial es una función continua.

Otra pregunta que surge de lo $(-1)^\sqrt{2}$ representa en la recta real?

Answer 1

Tenga en cuenta que, en general, $z^c$ se define como $e^{c\log(z)}$ donde $\log(z)$ es el valor múltiple compleja logaritmo dado por $\log(z)=\log(|z|)+i\arg(z)$.

Aquí, hemos

$$\begin{align} (-1)^\sqrt2&=e^{\sqrt2\log(-1)}\\\\ &=e^{\sqrt2 (i(2n+1)\pi)}\\\\ &=e^{i(2n+1)\pi \sqrt2} \\\\ &=\cos((2n+1)\pi \sqrt2)+i\sin((2n+1)\pi\sqrt2) \end{align}$$

donde $n\in \mathbb{N}$.

Si se elige la rama principal del logaritmo (es decir, $n=0$), $-1=e^{i\pi}$ y hemos

$$(-1)^\sqrt2=\cos(\pi\sqrt2)+i\sin(\pi\sqrt2)$$

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Ahora, si $p$ es un entero impar y $q$ es un entero par, entonces tenemos

$$\begin{align} (-1)^{p/q}&=e^{(p/q)\log(-1)}\\\\ &=e^{(p/q) (i(2n+1)\pi)}\\\\ &=e^{i(2n+1)p\pi /q} \\\\ &=\cos((2n+1)p\pi/q )+i\sin((2n+1)p \pi/q ) \end{align}$$

Si $p$ es extraño, entonces, ciertamente, $p(2n+1)$ es también impar y $p(2n+1)/q$ no es un número entero. Por lo tanto, $\sin((2n+1)p\pi/q)\ne 0$ $(-1)^{p/q}$ tiene un no-cero de la parte imaginaria.

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Por la continuidad de la función exponencial compleja, por cualquier $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que

$$\left|e^{i(2n+1)p\pi/q}-e^{i(2n+1)\sqrt 2\,\pi}\right|<\epsilon$$

siempre que $|(2n+1)p\pi /q-(2n+1)\sqrt2 \pi|<\delta$.

Por la densidad de los números racionales, para esto $\delta>0$ existen enteros $(2n+1)p$ $q$ tal que $|(2n+1)p\pi /q-(2n+1)\sqrt2 \pi|<\delta$.

Y hemos terminado!

Answer 2

Como Marca se señaló en el comentario,

$$(-1)^{\sqrt{2}}=(i^2)^{\sqrt{2}}=i^{2\sqrt{2}}\text{.}$$

Ahora sabemos que

$$i^{2\sqrt{2}}=(e^{\pi i/2})^{2\sqrt{2}}=e^{\pi i\sqrt{2}}\text{,}$$

y por De Moivre de la fórmula,

$$e^{\pi i\sqrt{2}}=\cos(\pi\sqrt{2})+i\sin(\pi\sqrt{2})$$

que es complejo y trascendental).

No estoy seguro de cómo utilizar el hecho dado, aunque, desde la $\sqrt{2}$ es irracional.