¿Cómo se escriben las raíces de un polinomio con coeficientes variables como funciones continuas?

Question

Considere el polinomio mónico

$$p_{\zeta}(z) = z^n + a_{n-1}(\zeta)z^{n-1} + \dots + a_0(\zeta), $$

donde los $a_{i}$'s son funciones continuas definidas sobre $\mathbb{C}$. Como es bien sabido, las raíces de este polinomio dependen 'continuamente' de los $a_{i}$'s en cierto sentido. Sin embargo, me preguntaba si se cumple una afirmación más fuerte: ¿es posible elegir funciones continuas $f_1, \dots, f_n$, al menos localmente, tales que las raíces de $p_{\zeta}(z)$ sean exactamente $f_1(\zeta), \dots, f_n(\zeta)$, contando multiplicidades?

Editar: Tenga en cuenta que esto se responde fácilmente de manera afirmativa alrededor de un $\zeta_0$ tal que $p_{\zeta_0}(z)$ tiene $n$ raíces distintas. La verdadera dificultad radica en lidiar con el caso en el que $p_{\zeta}(z)$ tiene raíces repetidas.

Answer 1

No, esto no es posible, y el ejemplo es $z^2-\zeta=0$. Incluso si restringes $\zeta$ en el círculo unitario, evidentemente no hay funciones continuas $z_1(\zeta)$ y $z_2(\zeta)$ definidas para todas las $\zeta$ en el círculo unitario, y que den las dos raíces de esta ecuación. Incluso UNA función continua $z(\zeta)$ en el círculo unitario, que satisfaga $z^2(\zeta)=\zeta evidentemente no existe.