Vamos a {$a_{n}$} ser una secuencia con $0 \lt a_1 \lt 1$, e $a_{n+1}=a_n(1-a_{n})$. Demostrar $\lim_{n\to \infty}n a_{n}=1$.

Question

Problema: Vamos a {$a_{n}$} ser una secuencia con $0 \lt a_1 \lt 1$, e $a_{n+1}=a_n(1-a_{n})$. Demostrar $\lim_{n\to \infty}n a_{n}=1$.

Yo: me he dado cuenta de {$a_{n}$} es decreciente y converge a $0$. Pero, ¿cómo puedo relacionar con {${na_{n}}$} ?

Cualquier sugerencia para empezar, gracias!

Answer 1

Desde $(a_n)_n$ es, finalmente, la disminución de a $0^+$ $(1/a_n)_n$ es estrictamente creciente y divergente de la secuencia, y podemos utilizar Stolz-Cesaro teorema: $$\lim_{n\to \infty}n a_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{1/a_n} \stackrel{\text{SC}}{=}\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)-n}{1/a_{n+1}-1/a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\frac{1}{a_n(1-a_n)}-\frac{1}{a_n}}= \lim_{n\to \infty}(1-a_n)=1.$$