Usted puede utilizar inclusión-exclusión cuando el problema con un carácter más general pero enfrente de la restricción es más fácil. Aquí ya has calculado la solución sin restricciones. Si la restricción sería que el primer niño recibe, al menos, $6$ naranjas, a continuación, empezar a dar los naranjas, y encontrar $\binom{30-6+9}{30-6}=\binom{33}9$ soluciones. Pero no sólo no podía ser de otro niño que recibe demasiadas naranjas, podría haber más de un niño a la vez que se obtiene demasiado. Así que el "más general, frente a" restricción sería, para cualquier conjunto $S$ de los niños, que todos los niños de $S$ al menos $6$ naranjas. Para esto hay $\binom{30-6s+9}{30-6s}=\binom{39-6s}9$ soluciones si $S$ $s$ de los niños en ella.
Por medio de la inclusión-exclusión que usted necesita para contar las soluciones para $S=\emptyset$, restar aquellos para $S$ un singleton, añadir de nuevo para $S$ un doubleton, etc. Todos en todo lo que usted consigue
$$
\binom{39}9-\binom{10}1\binom{33}9+\binom{10}2\binom{27}9
-\binom{10}3\binom{21}9+\binom{10}4\binom{15}9
-\binom{10}5\binom99
$$
soluciones, lo que si he calculado bien da $2\,930\,456$ posibilidades, a menos de $1.5$% del $211\,915\,132$.
Añadido (mucho más tarde).
Alternativamente, uno podría calcular el coeficiente de $X^{30}$$(1+X+X^2+X^3+X^4+X^5)^{10}=\frac{(1-X^6)^{10}}{(1-X)^{10}}$. Esto es bastante fácil (el numerador sólo ha $6$ grado${}\leq30$) y da el mismo resultado, de hecho, incluso a través de la misma fórmula.
