Perfecto cuadrados, cubos, dados y quinto potencias $ \leq 10^8 $

Question

He la siguiente pregunta:

Encontrar el número de números de $ \leq 10^8 $ que no son ni perfecto plazas, ni perfecto cubos ni perfecto quinto poderes.

Lo que tengo actualmente es:

• Número de cuadrados perfectos: $ n_1 = \sqrt[2]{10^8} = 10^4 $.
• Número de cubos perfectos: $ n_2 = \text{floor}(\sqrt[3]{10^8}) = 464 $.
• Número de cuadrados perfectos: $ n_3 = \text{floor}(\sqrt[5]{10^8}) = 39 $.

Donde floor(x) es el entero más cercano a $ \leq x $. Pero, ¿cuántos números hay que son:

• perfecto cuadrados y cubos perfectos (por ejemplo. $64$)
• cuadrados perfectos y perfectas quinto poder (por ejemplo. $1024$)
• perfecto cubos y perfecto quinto poderes? (por ejemplo. $32768$)

Answer 1

Un número es un cuadrado perfecto y de un cubo perfecto si y sólo si es un perfecto sexta potencia. El número de positivos perfecto sexto potencias $\le 10^8$$\lfloor (10^8)^{1/6}\rfloor$.

Del mismo modo, los números que son cuadrados perfectos y perfectas quinto poderes son el perfecto décima poderes. El número de estos $\le 10^8$$(10^8)^{1/10}$.

Podemos igualmente contar los números que son al mismo tiempo los cubos y quinto poderes.

Para encontrar el número de números que son a la vez, cuadrados, cubos, y la quinta poderes, tenga en cuenta que estos son el trigésimo poderes, y no se $\lfloor(10^8)^{1/30}\rfloor$$1$$10^8$. Que no es muy interesante en este caso, sólo hay uno.

Para contar los números en nuestro intervalo que no son ni plazas ni cubos ni quinto poderes, utilizamos la Inclusión/exclusión.

Llamar a un número de malo si es un cuadrado perfecto, o cubo perfecto o perfecta quinto poder. Queremos contar el número de $b$ de malos números en nuestro intervalo. Entonces la respuesta a nuestro problema es $10^8-b$.

Si $A$ es el conjunto de las plazas, y $B$ el conjunto de cubos, y $C$ el conjunto de la quinta poderes (todos en el intervalo de $1\le x\le 10^8$), luego el número de la mala números se pueden encontrar por medio de la Inclusión/Exclusión. Tenemos $$b=|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|.$$ sabemos cómo calcular todos los números de la derecha.

Answer 2

Un entero positivo $n$ es un cuadrado perfecto iff los poderes $a_k$ en su descomposición en factores primos $$n = p_1^{a_1} \cdots p_m^{a_m}$$ are all multiples of $2$. Likewise, $n$ is a perfect fifth power iff the powers $a_k$ are all multiple of $5$. So it is both iff the $a_k$ are all divisible by both $2$ and $5$, that is if they are all divisible by $10$. In the language of perfect powers, a number $n$ is a perfect square and a perfect fifth power iff it is a perfect $10$th power, and there are $\lfloor \sqrt[10]{10^8} \rfloor = 6$ de estos en su intervalo.

De manera más general, el mismo razonamiento muestra que un entero positivo $n$ es una perfecta $r$th poder y una perfecta $s$th poder iff es una perfecta $t$th poder, donde la $t := \mathrm{lcm}(r, s)$.