Métrica de riemann en el Colector de

Question

Deje $(M,g)$ ser una de riemann Colector, se puede utilizar la métrica $g$ para obtener una métrica $d_g:M\times M\to \mathbb{R}$.

Me pide una especie de conversar, se puede empezar con una métrica $d:M\times M\to \mathbb{R}$ y preguntar cuando podemos recuperar una métrica $g$ tal que $d=d_g$. ¿Qué obstáculos deben ser requeridos en $d$ así que la respuesta es positiva, al menos es necesario?

Answer 1

Si se le da una métrica $d_g$ inducida por una métrica de Riemann $g$, entonces usted puede reobtain $g$, de la siguiente manera: voy a wlog asumir que $(M,g)$ está incrustado en el espacio Euclidiano con $g$ la inducida por la métrica (esto se puede evitar, pero los cálculos puede ser messier).

Fix $p\in M$ y deje $v\in T_pM$ ser arbitraria. Entonces existe un camino liso $\gamma: \mathbb R \to M$ tal que $\gamma(0) = p$$\dot \gamma(0) = v$. Ahora vamos a utilizar el hecho de que

$$\lim_{q\to p} \frac{d_g(p,q)}{|p-q|} = 1$$

en el incrustado de configuración (aquí $|\,\cdot\,|$ denota la distancia Euclídea). Esto implica que

$$\lim_{t\to 0} \frac{d_g(p,\gamma(t))}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{d_g(p,\gamma(t))}{|p-\gamma(t)|} \frac{|p-\gamma(t)|}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{|tv + O(t^2)|}{t} = |v| = \sqrt{g_p(v,v)}$$

Así que si $d_g$ proviene de una métrica de Riemann, entonces podemos recuperar la longitud de los vectores a través de

$$\Vert v \Vert_{g(p)} = \sqrt{g_p(v,v)} = \lim_{t\to 0} \frac{d_g(p,\gamma(t))}{t}$$

Tenga en cuenta que aunque la prueba se utiliza un (hipotético) isométrica de la incrustación de $M$ en el espacio Euclidiano, la fórmula resultante es puramente intrínseco. Por otra parte, se desprende de la polarización de la identidad que esta determina $g_p$ de forma exclusiva (si es que existe).

Así, dada una métrica arbitraria $d$ en su colector, puede, en principio, el uso de la expresión anterior (junto con la polarización de la identidad) y comprobar si se determina un suave métrica de Riemann $g$ en el colector de como varían $p$. Si no determinar una métrica de Riemann $g$, es al menos plausible si la métrica asociada $d_g$ donde $=d$.

Agregar.: En efecto, supongamos que este es el caso. I. e. supongamos que podemos definir de la $\Vert v\Vert_{g(p)}$ como se ha indicado anteriormente, que esta norma varía continuamente en $M$ y que es inducida por un producto interior. Luego de una curva arbitraria $\gamma: [a,b]\to M$ y una partición de $a=t_0<t_1 <\dots < t_n = b$$[a,b]$, obtenemos

$$\sum_{i=1}^n d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1})) = \sum_{i=1}^n \frac{d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i-1}))}{t_i - t_{i-1}} (t_i - t_{i-1})\to \int_a^b \Vert \dot \gamma \Vert_{(g\circ \gamma)(t)} \, dt$$

como la partición se vuelve más fino y más fino. De modo que el lado derecho se aproxima a la longitud de la curva en el recién obtenido de Riemann colector $(M,g)$ en este caso. Por otro lado, la expresión en el lado izquierdo se aproxima a la longitud de $\gamma$ en el espacio métrico $(M,d)$ si hemos de elegir las particiones! Por lo tanto $L^{(M,d)}(\gamma) = L^{(M,g)}(\gamma)$ para todas las curvas suaves $\gamma$.

Permítanme resumir en:

Deje $M$ ser un colector y supongamos $d$ es una métrica en $M$ tal que $d(p,q) = \inf_{\gamma} L(\gamma)$ todos los $p,q \in M$, donde el infimum se toma sobre todos los suaves senderos de$p$$q$. Entonces no es una métrica de Riemann $g$ $M$ tal que $d_g = d$ si y sólo si

• $d^2$ es suave, $\lim_{t\to 0} \frac{d(\gamma(t),p)}{t}$ existe para todas las curvas se ejecuta a través de $p$ $t=0$ y
• la siguiente "la polarización de la identidad", sostiene en cada punto de $p\in M$: Dado $v,w \in T_pM$, y cualquiera de las cuatro curvas de $\gamma_v, \gamma_w, \gamma_{v+w}$ $ \gamma_{v-w}$ $M$ corriendo a través de las $p$ $t=0$ con velocidades de $v,w,v+w$$ v-w$, respectivamente. Entonces \begin{align} \left[\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} d(\gamma_{v+w}, p)\right]^2 &+ \left[\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} d(\gamma_{v-w}, p)\right]^2 \\ & \qquad = 2\left[\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} d(\gamma_{v}, p)\right]^2 +2\left[ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} d(\gamma_{w}, p)\right]^2 \end{align}