En un libro me piden que resuelva la siguiente EDO:
$$y\dfrac{d^2y}{dt^2} + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = 0$$
Una solución para la EDO anterior es $y = 0$ .
Utilizaré la siguiente sustitución:
$$v = \dfrac{dy}{dt}$$
Por lo tanto, $y''$ se convertirá, en términos de $v$ :
$$\dfrac{d^2y}{dt^2} = \dfrac{dv}{dt} = \left( \dfrac{dv}{dy} \right)\left( \dfrac{dy}{dt} \right) = v\dfrac{dv}{dy}$$
(Explicación de la sustitución: en la ecuación original, que tiene la forma $y''=f(y,y')$ la variable independiente $t$ no aparece explícitamente, sólo a través de la variable dependiente $y$ . Por lo tanto, si dejamos que $v=\dfrac{dy}{dt}$ podemos obtener una ecuación diferencial en términos de $y$ y $v$ solamente. Así, $v$ puede tratarse como una función de $y$ sólo, $y$ como variable independiente).
Sustituyendo $v$ para $\dfrac{dy}{dt}$ y $v\dfrac{dv}{dy}$ para $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ en la ecuación original da la siguiente EDO:
$$yv\dfrac{dv}{dy} + v^2 = 0$$
Una solución a la EDO anterior es $v(y) = 0$ lo que da $y = k$ (donde $k$ es una constante).
Para $v \neq 0$ resolveré la EDO anterior para $v$ (separando variables):
$$\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{dy}{y}$$
Integración de ambas partes:
$$\ln|v| = -\ln|y| + c$$
$$|v| = e^{-\ln|y| + c}$$
$$v = \pm e^{-\ln|y| + c} = \pm \dfrac{e^{c}}{e^{ln|y|}}$$
$$v = \frac{c_1}{|y|} \ \ \ \ \text{where } c_1 = \pm e^{c}$$
Sustituyendo de nuevo $\dfrac{dy}{dt}$ para $v$ :
$$\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{c_1}{|y|}$$
$$|y|dy = c_1dt$$
Integrando ambos lados (recordando que $\int |y| dy = \dfrac{y|y|}{2}$ ) da la solución a la EDO original:
$$\dfrac{y|y|}{2} = c_1t + c_2$$
Pero la respuesta que da el libro en la sección de respuestas es ligeramente diferente: $y^2 = c_1t + c_2$ que sería igual a mi respuesta si $y$ si eliminara las barras de valor absoluto.
¿Es correcta mi solución?
Actualización : En el paso de resolver $\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{dy}{y}$ si lo integrara así: $\ln v = -\ln y + c$ (en lugar de $\ln|v| = -\ln|y| + c$ ), obtendría la misma respuesta que el libro ( $y^2 = c_1t + c_2$ sin los signos de valor absoluto). Pero parece que no hay justificación para eliminar los signos de valor absoluto en $\ln|v| = -\ln|y| + c$ (lo habría si $y$ eran siempre no negativos). ¿Es erróneo mi razonamiento?
