Resuelve la ecuación: $1+2^x+4^x+8^x+16^x+32^x=3(1+2^x+4^x)$

Question

Estoy haciendo algunas repeticiones de matemáticas y estoy un poco atascado en este ejercicio:

Resuelve la ecuación: $1+2^x+4^x+8^x+16^x+32^x=3(1+2^x+4^x)$ .

Ahora bien, se trata de una suma geométrica tanto en el $LHS$ y $RHS$ que supongo que es algo que debo usar para resolver la ecuación...

Otra forma es simplemente empezar a eliminar términos:

$$1+2^x+4^x+8^x+16^x+32^x=3+3 \times 2^x+3\times4^x$$

$$-2 -2\times 2^x -2\times4^x+8^x+16^x+32^x = 0$$

$$8^x+16^x+32^x = 2 +2\times 2^x +2\times4^x$$

$$8^x+16^x+32^x = 2(1 + 2^x + 4^x)$$

Pero estoy atrapado aquí...

Answer 1

Configuración $2^x=a,$

Tenemos $$1+a+a^2+a^3(1+a+a^2)=3(1+a+a^2)$$

$$\iff (1+a+a^2)(a^3-2)=0$$

Si $x$ es real $2^x>0\implies1+a+a^2>0$

Por lo tanto, tenemos $2=(2^x)^3\iff2^{3x-1}=1$

Ahora bien, si $b^m=1$

o bien $m=0,b\ne0$

o $b=1$

o $b=-1,m$ es incluso

Answer 2

Obsérvese que el lado izquierdo de la ecuación puede escribirse como

$2^0+2^x+2^{2x}+2^{3x}...2^{5x}$

Se trata de una serie geométrica, con a=1, n=6, y $r=2^x$

Utilizamos la fórmula: $S_n = \frac {a(1-r^n)}{1-r}$

Sustituyendo los valores, se obtiene

$S=\frac{(1-2^{6x})}{1-2^x}$

Hacemos lo mismo para el lado derecho

$S=3[\frac{1-2^{3x}}{1-2^x}]$

Iguala los términos y reordena

$\frac{(1-2^{6x})}{1-2^x}=3[\frac{1-2^{3x}}{1-2^x}]$

$1-2^{6x}=3-3\cdot2^{3x}$

$-2^{6x}+3\cdot2^{3x}-2=0$

Y esta parte es mi favorita.

¡Es sólo una cuadrática!

Porque $-2^{6x} = -(2^{3x})^2$

Ahora sólo deja que $2^{3x}$ = u

$-u^2+3u-2=0$

Resolver para u

Entonces sólo tienes que volver a sub $2^{3x}$

Y ahí lo tienes.

Si he cometido un error (como suelo hacer), notifíquemelo y retiraré mi respuesta. Gracias