La geometría de $2 \times 2$ matriz de asignaciones

Question

Supongamos $\mathbf{A}$ $2 \times 2$ matriz. Estoy interesado en la geometría de la asignación de $T(\mathbf{x}) = \mathbf{A}\mathbf{x}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$. El efecto sobre los vectores $\mathbf{e_1} = (1,0)$ $\mathbf{e_2} = (0,1)$ es clara: $T(\mathbf{e_1})$ $T(\mathbf{e_2})$ son sólo las columnas de a $\mathbf{A}$. Así, por linealidad, una unidad cuadrada obtiene asignada a un paralelogramo. El cuadrado verde obtiene asignada a la rosa paralelogramo en las fotos de abajo.

Ahora vamos a considerar el efecto en un círculo unitario. Se obtiene asignada a una elipse, y estoy interesado en cómo la geometría de esta elipse es el relacionado con la matriz $\mathbf{A}$.

Uno de los casos parece claro: si $\mathbf{A}$ es simétrica, entonces los ejes de la elipse son los eignevectors de $\mathbf{A}$, y su semi-eje con las longitudes de los autovalores. El "estiramiento" del círculo para formar la elipse está muy bien relacionado con los autovalores y autovectores. Fabuloso. Esto se ilustra en la siguiente imagen:

Otro caso también es clara: si los autovalores de a $\mathbf{A}$ no son reales, entonces, presumiblemente, no existe ninguna relación de ningún tipo a la geometría de la elipse.

Ahora el caso que extraño yo: ¿qué si $\mathbf{A}$ no es simétrica, pero todavía tiene real de los autovalores. ¿Qué tipo de relación geométrica que existe en este caso, si alguna? Este caso se ilustra en la siguiente imagen:

Answer 1

La palabra clave relevante para leer acerca de es "valores propios". Para un mapa de $T \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, siempre se puede encontrar una base ortonormales $(v_1,v_2)$ de dominio (con respecto a la norma métrica Euclidiana) y una base ortonormales $(w_1,w_2)$ de la gama que $T(v_i) = \sigma_i w_i$$\sigma_i \geq 0$. Los números de $\sigma_i$ son llamados los valores singulares de a $T$ y son los autovalores de a $\sqrt{T^{*}T}$ o $\sqrt{TT^{*}}$ (en sus casos, $\sqrt{A^TA}$ o $\sqrt{AA^T}$).

Desde las bases de $(v_i),(w_i)$ son ortonormales, esto significa que la asunción de $T$ es invertible (y, a continuación, $\sigma_i > 0$ todos los $i$), un círculo unitario será asignado a una elipse cuyos ejes son $w_1,w_2$ de las longitudes $\sigma_1,\sigma_2$ respectivamente. Es $T$ a no es invertible, mapa del círculo unidad a un "círculo" de menor dimensión.

Si $T$ es positiva definida, a continuación, $T$ es ortogonalmente diagonalizable, usted puede conseguir $v_i = w_i$ e las $\sigma_i$ serán los autovalores de a $T$. Si $T$ es simétrica, los valores propios serán los valores absolutos de los valores propios de a $T$. Si $T$ no es simétrica, entonces la única relación que puede esperar entre los valores propios y los autovalores es que $\sigma_1 \cdot \sigma_2 = |\lambda_1 \cdot \lambda_2| = |\det(A)|$. Por ejemplo, considere la familia de matrices

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

El único autovalor de a $A$ $1$ e si $a \neq 0$ $A$ no es diagonalizable. Los valores singulares de a $A$ están dadas por

$$\sigma_1 = \sqrt{\frac{2 + a^2 + a\sqrt{4 + a^2}}{2}}, \sigma_2 = \sqrt{\frac{2 + a^2 - a\sqrt{4 + a^2}}{2}}.$$

Satisfacer $\sigma_1 \sigma_2 = 1$ $\sigma_1,\sigma_2 > 0$ e al $a$ se ejecuta en $(0,\infty)$, el valor singular $\sigma_1$ se ejecuta entre las $(1,\infty)$ mientras $\sigma_2 = \frac{1}{\sigma_1}$ se ejecuta entre las $1$ $0$ por lo que obtener todos los posibles pares de valores singulares sujeto a la restricción $\sigma_1 \sigma_2 = 1$. Geométricamente, ya que $\det(A) = 1$, la matriz $A$ mapa de la unidad de disco de la elipse de área $1$. Como $\sigma_1 \to \infty$, la matriz $A$ mapas de la unidad de disco a una elipse en la que uno de los ejes (correspondiente a la singular valor $\sigma_1$) se convierte en más y más, mientras que el segundo eje se vuelve más corto y más corto para mantener el área de la elipse constante.