Pregunta sobre el exterior de los derivados

Question

Sé de Carroll que la integración en GR es básicamente una asignación de n-formulario para el número real. Y dado que

$$d^nx=dx^0\wedge\ldots\wedge dx^{n-1}=\frac{1}{n!}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_n}dx^{\mu_1}\ldots dx^{\mu_n}$$

Ahora, tengo una expresión que se da en el sistema de coordenadas esféricas, donde he

$$\int_\Sigma f(\theta,\phi) d\theta\wedge d\phi$$

cuando quiero integrar este (el epsilon parte ya está calculada), ¿ sólo tengo $\int\int d\theta d\phi$ a integrar, o tengo que poner la parte de la integración en el sistema de coordenadas esféricas $\int\int\sin\theta d\theta d\phi$?

No he hecho mucho integración que participan de las formas antes, por lo que cualquier ayuda se agradece :)

EDITAR:

Desde el artículo que me han dado:

$$k_\xi[h,\bar{g}]=k^{[\nu\mu]}_\xi[h,\bar{g}](d^{n-2}x)_{\nu\mu}$$

$$(d^{n-p}x)_{\mu_1\ldots\mu_p}:=\frac{1}{p!(n-p)!}\epsilon_{\mu_1\ldots\mu_n}dx^{\mu_p+1}\ldots dx^{\mu_n}$$

$$k_\xi^{[\nu\mu]}[h,\bar{g}]=-\frac{\sqrt{-\bar{g}}}{16\pi}\ldots$$

donde $\ldots$ es una expresión. ¿Significa esto, ya que tengo un $n-2$ forma y estoy en 4 dimensiones del espacio, tengo que incluir esta $\sin\theta$ después de todo?

EDIT2: necesito agregar el $\sin\theta$. Ya lo he conseguido. Gracias :D

Answer 1

Integral escribió simplemente se calcula de la siguiente manera: \begin{align} \int_\Sigma f\,d\theta\wedge d\phi = \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi d\theta f(\theta, \phi) \end{align} Usted acaba de "borrar" la cuña". El factor adicional de $\sin\theta$ está incluido si usted está en la integración de una 2-forma $\omega$ que es proporcional a la forma de volumen; \begin{align} \omega = f\,\epsilon \end{align} Aquí $\epsilon$ es el estándar de la forma de volumen de la esfera; \begin{align} \epsilon = \sqrt{|\det(g_{ij})|}d\theta\wedge d\phi = \sin\theta\,d\theta\wedge d\phi, \qquad (g_{ij}) = \mathrm{diag}(1,\sin^2\theta) \end{align} Así, por ejemplo, tendríamos que \begin{align} \int_\Sigma \omega = \int_\Sigma f\epsilon = \int_{\Sigma}f\sin\theta \,d\theta\wedge d\phi = \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi d\theta \,\sin\theta f(\theta, \phi) \end{align}