Comparación de los tensores métricos de los modelos de Poincare y del disco de Klein de la geometría hiperbólica

Question

Estaba tratando de comparar el tensor métrico en las páginas de wikipedia del

Modelo Beltrami Klein https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_disk_model

y el tensor métrico del modelo de disco de Poincare en https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_disk_model

A el momento (22 de mayo de 2015)

Las fórmulas para el tensor métrico del modelo de Beltrami Klein están dadas como

$$ g (x, dx) = \frac{4 (x \cdot dx)^2}{(1 - \left\Vert x \right\Vert^2)^2} + \frac{4 \left\Vert dx \right\Vert^2}{(1 - \left\Vert x \right\Vert^2)}. $$

Mientras que para el modelo de disco de Poincare el tensor métrico viene dado como

$$ ds^2 = 4 \frac{\sum_i dx_i^2}{(1-\sum_i x_i^2)^2}$$

(donde el $x_i$ son las coordenadas cartesianas del espacio euclidiano ambiente)

Aunque entiendo que los dos tensores métricos deberían ser diferentes, aquí también parece haber una diferencia en la notación, y eso hace que para mí sea imposible incluso comparar los dos tensores.

¿Cómo puedo convertir un tensor en la notación del otro?

O (quizás más práctico) :

Cuáles son los tensores métricos del modelo de Beltrami Klein en la notación $ds^2 = ... $

¿Cuáles son los tensores métricos del modelo de disco de Poincare en la notación $ g (x, dx) = ... $

O:

¿Son estas preguntas imposibles y los tensores inconmensurables? (los tensores no son el mismo tipo de bestia)

P.D. Apenas sé nada de tensores, (y mucho menos de tensores métricos) así que cualquier información básica sobre ellos será bienvenida. (¿cuál es la fórmula más fácil?)

Answer 1

Las dos notaciones son sólo ligeramente diferentes. El tensor métrico en el modelo de Klein es $$ ds^2 \;=\; \frac{{dx_1}^2 + \cdots + {dx_n}^2 }{1 - {x_1}^2-\cdots - {x_n}^2}+\frac{(x_1\,dx_1 + \cdots + x_n\, dx_n)^2}{\bigl(1-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2\bigr)^2} $$ y el tensor métrico en el modelo de Poincaré es $$ ds^2 \;=\; 4\frac{{dx_1}^2+ \cdots + {dx_n}^2}{\bigl(1-{x_1}^2-\cdots -{x_n}^2\bigr)^2} $$ Si dejamos que $\textbf{x} = (x_1,\ldots,x_n)$ y $\textbf{dx} = (dx_1,\ldots,dx_n)$ el tensor métrico para el modelo de Klein se puede escribir $$ ds^2 \;=\; \frac{\|\mathbf{dx}\|^2}{1-\|\mathbf{x}\|^2} + \frac{(\textbf{x}\cdot\textbf{dx})^2}{\bigl(1-\|\mathbf{x}\|^2\bigr)^2} $$ y el tensor métrico para el modelo de Poincaré se puede escribir $$ ds^2 \;=\; \frac{4\|\mathbf{dx}\|^2}{\bigl(1-\|\mathbf{x}\|^2\bigr)^2} $$ Si prefiere pensar en términos de matrices/componentes, el $ij$ La componente del tensor métrico para el modelo de Klein es $$ g_{ij} \;=\; \frac{\delta_{ij}}{1-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2} + \frac{x_ix_j}{\bigl(1-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2\bigr)^2} $$ donde $\delta_{ij}$ es el Delta de Kronecker y el $ij$ La componente del tensor métrico para el modelo de Poincaré es $$ g_{ij} \;=\; \frac{4\,\delta_{ij}}{\bigl(1-{x_1}^2-\cdots-{x_n}^2\bigr)^2} $$