Puede transposición $GL_n(k)\to GL_n(k)$ nunca se dio cuenta de como la conjugación por algún elemento en $S_n$?

Question

Puede la transposición de operación $GL_n(k)$ nunca ser expresado como la conjugación por algún elemento de $S_n$, identificado como el grupo de permutación de matrices? Es decir, ¿existe $\sigma\in S_n$ tal que $A^T=\sigma A\sigma^{-1}$ todos los $A$?

Estoy dudoso, porque el tranpositions en $S_n$ ley sobre el derecho mediante el intercambio de columnas, y la ley sobre la izquierda, con el intercambio de las filas, por lo tanto, cualquier permutación de la matriz hace algunos secuencia de dichos swaps. Así que no veo una manera de voltear una columna a través de la diagonal principal, utilizando sólo estos tipos de movimientos, ya que todas las entradas de una columna determinada voluntad de permanecer juntos (como, posiblemente, una columna diferente, y en un diferente "vertical" de la orden después de que el intercambio de filas).

Answer 1

Desde $A^t=A$ siempre $A$ es diagonal, $\sigma$ conmuta con todas las diagonales de las matrices en $GL_n(k)$. Al $|k|>2$, usted puede ver fácilmente que $\sigma$ tiene que ser la identidad, comprobante :

Deje $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ ser diferente de la identidad. Deje $j>i$ tal que $\sigma(i)=j$. Definir la matriz $A\in GL_n(k)$ que es la diagonal con todos los elementos de la diagonal igual a uno, excepto el $i$-th (este donde tenemos dos invertible elementos en $k$). A continuación,$\sigma\cdot A\neq A$.

Que te deja con el caso de $k=\mathbb{F}_2$. Creo que se puede calcular el contra-ejemplo para este campo para cualquier $n>1$.

Answer 2

Para ver por qué no es posible, considere la posibilidad de una matriz cuyas entradas son distintas, por ejemplo,$A=(2^i(2j+1))_{i,j}$.

Si $B=\sigma A\sigma^{-1}$ hojas de $a_{ii}$ sin cambios (es decir,$b_{ii}=a_{ii}$), esto significa que $\sigma$ corrige $i$.

Así que si $\sigma A\sigma^{-1}$ deja la diagonal sin cambios, a continuación, $\sigma$ debe ser la identidad.