Ejemplo de una variación de Hodge estructura tal que la gradación no variar holomorphically

Question

La motivación para la consideración de la Hodge filtración a diferencia de la clasificación se supone que la filtración varía holomorphically en una familia, mientras que la clasificación no siempre.

Alguien puede poner un ejemplo de una suave morfismos $f \colon X \to S$ de manera tal que las fibras son suaves proyectivos complejos colectores de donde la clasificación en $R^k f_* \mathbb{Z}$ ¿ no variar holomorphically $S$? Idealmente, el ejemplo sería el de una familia de abelian variedades.

Answer 1

Casi cualquier ejemplo interesante en el que usted puede escribir se satisfacen esta propiedad. E. g. considere la posibilidad de un no-trivial de la familia de curvas elípticas sobre alguna base $S$ (la familia de $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$ $\mathbb P^1\setminus \{0,1,\infty\}$ va a hacer).

A continuación, obtener una de dos dimensiones de la variación de la estructura de Hodge $\mathcal V$ que es un rango de dos holomorphic paquete de más de $S$. El primer paso en la Hodge filtración da un rango de uno subbundle $\mathcal F \subset \mathcal V$. Este interpola la $(1,0)$ parte de la calificación. Es atravesado por el holomorphic diferencial $\omega := dx/2y$.

Si nos restringimos a un pequeño subconjunto $U$$S$, en los que podemos restarle importancia a la familia de curvas elípticas en el buen categoría, podemos optar por una constante de la base de la homología de la familia, y la integración de $dx/2y$ más, para conseguir un par de funciones $\omega_1$$\omega_2$, que son los periodos de la curvas elípticas en la familia, que varían holomorphically, que refleja la hecho de que $\mathcal F$ es un holomorphic paquete. Pero si queremos integrar una base para el $(0,1)$ parte de la clasificación a través de este homología de base, obtenemos el par de anti-holomorphic funciones de $\overline{\omega}_1, \overline{\omega}_2$. Si la familia de curvas elípticas no es trivial, entonces estas realmente forma no constante holomorphic funciones en $U$, lo que implica que el $(0,1)$ parte de la calificación no puede ser interpolada holomorphically.

Resumen: El punto básico es que el $(q,p)$ parte de la calificación se obtiene a partir de la $(p,q)$ parte mediante la aplicación de complejos de la conjugación, y esto no es un proceso que va a preservar la holomorphicity de un paquete en general. I. e. la Hodge filtración varía holomorphically pero el conjugado de filtración $\overline{F}$ no, y por lo tanto tampoco la intersección de $F^p\cap \overline{F}^p$, en general.