demostrando $\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac1{\cos x}\ne \infty $

Question

Tengo que probar la siguiente ecuación para la tarea $$\lim_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac1{\cos x}\ne \infty $$

La prueba debe ser realizada por probar que existe un $M>0$ para el cual por cada $l>0$ existe un $x$, de modo que $0<|x-(\pi/2)|<l$ pero $\lim\limits_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac1{\cos x}\le m$

Me parece que no puede encontrar esta.

Me sería de gran correspondiente a cualquiera que intente ayudarme :) Gracias

Answer 1

Primero usamos la geometría para averiguar lo que está pasando en realidad. Entonces estaremos listos para ir a la $M$ $l$ cosas. Muy informalmente, si $\lim_{x\to \pi/2} \frac{1}{\cos x} =\infty$, lo que significaría que si $x$ está cerca pero no es igual a $\frac{\pi}{2}$ $\frac{1}{\cos x}$ es muy positivo.

Si $x$ es un poco por debajo de $\frac{\pi}{2}$, $\frac{1}{\cos x}$ es de hecho muy positivo, ya que $\cos x$ es positivo y cercano a $0$. Pero si $x$ es un poco más grande que el de $\frac{\pi}{2}$, $\cos x$ está cerca de a$0$, pero negativo, por lo $\frac{1}{\cos x}$ no es ciertamente positivo. Así que los chicos malos son los $x$ que son un poco más grande que el $\frac{\pi}{2}$.

Ahora que sabemos lo que está pasando, vamos a escribir una prueba formal. Voy a tratar de utilizar los símbolos que se utilizan.

¿Qué significaría para el límite para ser $\infty$? Para salvar a escribir, y por el bien de la generalidad, voy a escribir un rato $a$$\frac{\pi}{2}$$f(x)$$\frac{1}{\cos x}$.

Tenemos $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ si por cualquier $M$, hay un $l>0$ tal que para cualquier $x$ tal que $|x-a|<l$,$f(x)>M$. Usted puede pensar de esta manera. Supongamos que tenemos un específico gran $M$, como $1000$ o $99999999$. Queremos ser capaces de exhibir un número $l$ de manera tal que si la distancia $|x-a|$$x$$a$$<l$, $f(x)$ está garantizado a ser $>M$.

Piense en el número de $M$ como un desafío, y de $l$ como respuesta. Para el reto "asegúrese de que el $f(x)>M$" siempre debemos ser capaces de llegar a una respuesta adecuada "si $|x-a|<l$, entonces puedo garantizar que $f(x)>M$." (La respuesta adecuada a $l$ en general dependen de $M$.)

El resto es fácil. Deje $M=17$. Podemos llegar a un $l$ que si $\left|x-\frac{\pi}{2}\right|<l$,$\frac{1}{\cos x}>17$? Definitivamente no. Por lo $l$ recogemos, habrá un número $x$ tal que $\frac{\pi}{2}<x<\pi$$\left|x-\frac{\pi}{2}\right|<l$. Y en cualquier número de $x$, el número de $\frac{1}{\cos x}$ será negativa, por lo que definitivamente no es mayor que $17$. Así que para el desafío $M=17$, que no es posible la respuesta $l$.

Llegamos a la conclusión de que es no es cierto que $\displaystyle\lim_{x\to \pi/2} \frac{1}{\cos x} =\infty$. De hecho, una pequeña variante del argumento muestra que el límite en este caso no existe.

Comentario: Usted escribió $\displaystyle\lim_{x\to \pi/2} \frac{1}{\cos x} \ne \infty$. Yo prefiero no hacer eso, para escribir de esa manera puede llevar a la impresión de que el límite existe, pero pasa a ser algo distinto de la $\infty$.

Con algo de práctica, este $M$, $l$ de negocios, y las ideas relacionadas, se convertirá en claro para usted. Es genuinamente una sutil idea, y requiere tiempo para ser completamente absorbida.

Answer 2

Si $x$ es ligeramente más grande que la de $\pi/2$, $\cos x$ es negativo.

Answer 3

Usted necesita demostrar que $$\lim_{x\to \frac{\pi }{2}^+}\frac1{\cos x} \neq \lim_{x\to \frac{\pi }{2}^-}\frac1{\cos x}.$$

Esto es trivial, ya que para $x>\frac{\pi}{2}$, tenemos

$$\frac{1}{\cos x}\leq -1,$$

y lo mismo para $x<\frac{\pi}{2}$, tenemos

$$\frac{1}{\cos x}\geq 1.$$

Esto significa $$\lim_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac1{\cos x}$$ simplemente no existen.