¿Por qué falla esta intuición para las combinaciones con repetición?

Question

Cuando estás aprendiendo la diferencia entre combinaciones y permutaciones sin repetición. La lógica para cada una de ellas es:

1) Permutación sin repetición: Seleccionar 4 objetos de 10, da $10*9*8*7$ opciones.

2) Combinaciones sin repetición: Seleccionar 4 objetos de 10, da $10*9*8*7/(4*3*2*1)$.

Aquí siempre se divide por el número de posibilidades de organizar 4 objetos ya que cada una de esas combinaciones es la misma, el orden no importa.

3) Permutaciones con repetición: seleccionar 4 objetos de 10, es $10*10*10*10$

4) Combinaciones con repetición

Ahora intentando aplicar esto a combinaciones con repetición, mi razonamiento es el siguiente. Es similar a cómo se pasa de permutaciones a combinaciones en el caso de no repetición. Hay 10 objetos para elegir y quieres seleccionar 4. Cada selección no disminuye el número de opciones que tienes ya que es reemplazable. Por lo tanto, para cada posible selección tienes 10 opciones, seleccionar 4 luego da $10^4 / 4!$ ya que necesitas dividir por el número de formas en que 4 objetos pueden ser dispuestos para no contar de más.

Sé que esto está mal, he visto soluciones a esto usando estrellas y barras. Pero mi pregunta es básicamente, para el caso de no repetición, las combinaciones se pueden tratar como permutaciones solo si divides por el número de formas en que puedes organizar tu selección, y eso tiene sentido intuitivo para mí.

Cuando se trata de repeticiones, las permutaciones tienen sentido para mí. Seleccionar k objetos de n opciones es simplemente $n^k$. Entonces, ¿por qué no puedo usar el mismo razonamiento aquí y decir que el número de combinaciones es $n^k / k!$?

Answer 1

Buena pregunta.

No se puede aplicar el mismo razonamiento en el caso cuando tenemos repeticiones, porque las $4!$ formas en las que se pueden organizar $4$ objetos asumen objetos diferentes.

Veamos tu ejemplo de elegir $4$ objetos de $10$ posibles objetos (con repetición) y digamos que nuestras $10$ opciones posibles son las letras A a J.

Una posible permutación es ABBA, que es diferente a la permutación BABA. Ahora piensa en cuántas formas tenemos de organizar dos As y dos Bs. No es $4!$ (no tenemos 4 formas de elegir la primera letra, ni 3 opciones para la segunda letra, etc).

En el caso extremo donde tengamos CCCC (esta es una permutación), también tenemos solo una combinación.

Entonces, al dividir por $r!$, estás potencialmente sobreestimando el número de formas en que puedes organizar los objetos en una permutación, porque podrías tener objetos repetidos en esta permutación. Además, es difícil calcular los arreglos promedio porque depende de la permutación que tengamos en cada ocasión. Entonces, en lugar de tratar de resolver el problema de esta manera, lo abordamos de manera diferente (por ejemplo, estrellas y barras).

Este método no es un problema cuando no se permiten repeticiones porque puedes contar fácilmente los arreglos posibles para cualquier permutación. Siempre son los mismos, independientemente de la permutación que tengamos.

Answer 2

Existen 24 variantes de: ABCD, ABDC, ... , DCBA. Todas estas son permutaciones distintas sin repetición, y todas se condensan a la misma combinación sin repetición. Esto se debe a la división por $4!$ cuando no hay repetición.

Pero consideremos estas permutaciones con repetición: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA. Para dos As y dos Bs, eso es todo. Ahora seis permutaciones se condensan en una combinación.

Y aquí: AAAB, AABA, ABAA, BAAA. Tenemos cuatro permutaciones condensándose en una combinación.

Y aquí: AAAA. Solo una permutación se condensa en una combinación.

Y aquí: ABCC, ACBC, ACCB, BACC, BCAC, BCCA, CABC, CACB, CBAC, CBCA, CCAB, CCBA. Tenemos doce que se condensan en una.

Entonces no hay una proporción consistente. Dependiendo de la composición de la combinación, hay entre $1$ y $24$ permutaciones. Varía en todas las combinaciones con repetición.