Hacia el exterior vectores a un Elipsoide y la métrica Euclidiana

Question

Estoy leyendo un libro de Arnold en la prueba de la topológicamente la equivalencia de las ecuaciones $\dot{x}=Ax$ $\dot{x}=x$ cuando todos los valores propios de la $n \times n$-matriz $A$ tienen parte real positiva. La prueba se basa en la construcción de una función de Lyapunov y la equivalencia de estas declaraciones:

1. Existe y métrica Euclidiana $g$ $R^n$ tal que $g(Ax,x)>0$ ($x \neq 0$).
2. Existe un positivo-definida de una forma cuadrática $F$ $R^n$ cuya derivada direccional en la dirección de $Ax$ es positivo.
3. Existe un elipsoide en $R^n$ con el centro en $0$ de manera tal que en cada punto de $x$ el vector $Ax$ es dirigido hacia el exterior.

Puedo ver la equivalencia de los dos primeros, pero yo realmente no entiendo la tercera, supongo que el elipsoide es definido por $F(x)=g(x,x)=$constante, pero no puedo ver por qué es la equivalente a la primera instrucción, por ejemplo.

Answer 1

Un elipsoide con centro en el origen en $\mathbb{R}^n$ es descrito por $g(x,x)=1$ donde $g$ es positiva definida de una forma cuadrática. Si $G$ es la representación de la matriz de $g$ w.r.t. el estándar de la base, luego el exterior apuntando normal al elipsoide en $x\in\mathbb{R}^n$ está dado por $\mathbf{n}=Gx$. Por lo tanto, la declaración de 3 significa $\langle Ax, \mathbf{n}\rangle>0$ (donde$\langle x, y\rangle\equiv y^Tx$, es habitual el interior del producto), que es equivalente a $x^TGAx>0$ y a su vez $g(Ax,x)>0$.