Continuidad uniforme de $f(x) = x \sin{\frac{1}{x}}$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0.$

Question

Para el $f(x) = x \sin{\frac{1}{x}}$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0,$ mi libro de texto hace las siguientes preguntas.

(b) ¿Por qué es $f$ uniformemente continua en cualquier subconjunto acotado de $\mathbb{R}$ ?

(c) ¿Es $f$ uniformemente continua en $\mathbb{R}$ ??

La gráfica de la función es ésta.

Para la pregunta (b), si tomo el subconjunto entre $[0.2,0.6]$ o el subconjunto en el que la pendiente es pronunciada, no creo que la función sea uniformemente continua porque creo que para un determinado $\epsilon>0$ no hay un único $\delta >0$ para el subconjunto acotado. Por lo tanto, tampoco puede ser uniformemente continua en $\mathbb{R}.$ Sin embargo, en las preguntas parece que la función es uniformemente continua y el libro dice que es uniformemente continua. La respuesta del libro dice algo pero necesito más explicación. Gracias.

Answer 1

Para b:

1) Demuestre que $f$ es continua en $0$ . Para ello, observe que $|f(x) - f(0)| = |x \sin(1/x)| \leq |x|$ Así que $\lim_{x \to 0} |f(x)-f(0)| \leq \lim_{x \to 0}|x| = 0$ . Por lo tanto, $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ y esto nos dice que $f$ es continua en $0$ .

2) Ahora argumenta que $f$ es continua en todos los $\mathbb{R}$ ya que es continua en $0$ (a partir del 1) y en $\mathbb{R} \backslash\{0\}$ (como el producto y la composición de funciones continuas allí).

3) Ya que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua, entonces en cualquier subconjunto acotado es uniformemente continua. ¿Por qué? Sea $U \subset \mathbb{R}$ sea continua. Entonces, para algún $R > 0$ , $U \subset [-R, R]$ . Desde $f$ restringido a $[-R,R]$ es uniformemente continua (una función continua restringida a un conjunto compacto es uniformemente continua), entonces $f$ es uniformemente continua para cualquier subconjunto de $[-R,R]$ (en particular, $U$ ).

Para c:

$f$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}$ . ¿Por qué? Usted sabe que $f$ es uniformemente continua en $[-1, 1]$ digamos. Fuera de $[-1,1]$ Obsérvese que la derivada de $f$ es $f'(x) = \sin(1/x) - \cos(1/x)/x$ y (ya que estamos restringidos lejos del origen), esto significa que $f'(x)$ está acotado. En particular $|f'(x)| \leq 2$ por cada $|x| \geq 1$ . Esto significa que $f$ es continua de Lipschitz con una constante de Lipschitz a lo sumo $2$ en el complemento de $[-1,1]$ . Esto significa que si $x, y\in [-1,1]^c$ entonces $|f(x)-f(y)|\leq 2 |x-y|$ . Para unir estas piezas, se puede decir lo siguiente:

Dejemos que $\epsilon > 0$ . Encuentre $\delta_1 > 0$ de manera que si $x,y \in [-2, 2]$ entonces $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ (que puedes hacer por la parte b). Sea $\delta = \min(\delta_1, \epsilon/2, 1)$ . Ahora bien, si $x, y \in \mathbb{R}$ tal que $|x-y| < \delta$ Entonces, o bien $x,y \in [-2,2]$ o $x,y \in [-1,1]^c$ (ya que elegimos $\delta \leq 1$ ). Si $x,y \in [-2,2]$ entonces $|x-y|<\delta \leq \delta_1$ Así que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ . En caso contrario, si $x,y \in [-1,1]^c$ entonces $$|f(x) - f(y)|\leq 2 |x-y| < 2 \delta \leq 2 (\epsilon/2) = \epsilon$$ En cualquier caso, $|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$ demostrando que $f$ es uniformemente continua.

Answer 2

Esta función $f(x)=x\sin (1/x)$ es incluso así muestro uniformidad en $[0,∞)$ spilit esto como $[0,1]$ y $[1,∞]$ Ahora bien, hay que tener en cuenta que se trata de una continua sobre $[0,1]$ tan uniforme allí. Y $f'(x)=\sin(1/x)-\cos (1/x)/x$ y limitar $x$ tiende a $∞$ , $f'(x)$ se convierte en $0$ así que $f'(x)$ está acotado para $x\geq 1$ por lo que $f$ es uniforme en $[1,∞)$ y de ahí el resultado.

Answer 3

¿Sería alguien tan amable de criticar la siguiente demostración directa de que $\displaystyle x \sin \frac{1}{x}$ es uniformemente continua en $(0,1)$ ?

Dejemos que $\epsilon > 0$ y que $x, y \in (0,1)$ . Entonces \begin {align*} x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} &= x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{x} + y \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \\ &= (x-y) \sin\frac {1}{x} + y \left ( \sin\frac {1}{x} - \sin\frac {1}{y} \right ), \end {align*} así que \begin {Ecuación} \label {eq: estrella} \left | x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \right | \leq |x - y| + y \left | \sin\frac {1}{x} - \sin\frac {1}{y} \right |. \end {ecuación} Pero \begin {align} \label {eq: starstar} \left | \sin\frac {1}{x} - \sin\frac {1}{y} \right | &= \left | 2 \cos \left ( \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{x} + \frac {1}{y} \right ) \right ) \sin \left ( \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{x} - \frac {1}{y} \right ) \right ) \right | \notag \\ & \leq 2 \left | \sin \frac {y-x}{2xy} \right | \notag \\ & \leq \frac {|y - x|}{|xy|} \notag \\ &= \frac {|x - y|}{xy}. \end {align} Por \eqref {eq: estrella} y \eqref {eq: starstar} tenemos \begin {Ecuación} \label {eq: patata} \left | x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \right | \leq |x-y| + \frac {|x-y|}{x} =|x-y| \left ( 1 + \frac {1}{x} \right ). \end {Ecuación} Por simetría, también tenemos \begin {Ecuación} \label {eq: plátano} \left | x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \right | \leq |x-y| \left ( 1 + \frac {1}{y} \right ). \end {ecuación} Ahora dejemos que $\gamma > 0$ . \

\noindent \textbf {Caso I:} Supongamos que $x \geq \gamma$ o $y \geq \gamma$ . Entonces \eqref {eq: patata} y \eqref {eq: plátano} implica que \begin {Ecuación} \left | x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \right | \leq |x-y| \left (1 + \frac {1}{ \gamma } \right ), \end {ecuación} por lo que debemos dejar que $\displaystyle \delta = \frac{\epsilon}{1 + \frac{1}{\gamma}}$ . \

\noindent \textbf {Caso II:} Supongamos en cambio que $x < \gamma$ y $y < \gamma$ . Entonces $\displaystyle \left | x \sin\frac{1}{x} - y \sin\frac{1}{y} \right |$ es igual a $\displaystyle x \sin\frac{1}{x} - y \sin\frac{1}{y}$ o $\displaystyle y \sin\frac{1}{y} - x \sin\frac{1}{x}$ . Pero \begin {Ecuación} x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \leq x - (-y) = x + y < 2 \gamma , \end {ecuación} y de manera similar, \begin {Ecuación} y \sin\frac {1}{y} - x \sin\frac {1}{x} < 2 \gamma , \end {ecuación} por lo tanto \begin {Ecuación} \left | x \sin\frac {1}{x} - y \sin\frac {1}{y} \right | < 2 \gamma , \end {ecuación} por lo que debemos establecer $\displaystyle \gamma = \frac{\epsilon}{2}$ .

\noindent Para resumir, dejemos que \begin {Ecuación} \delta = \frac { \epsilon }{1 + \frac {1}{ \epsilon /2}} = \frac { \epsilon }{1 + \frac {2}{ \epsilon }} = \frac { \epsilon ^2}{ \epsilon + 2}. \end {ecuación} Entonces \begin {equation} |x-y| < \delta \Rightarrow \left | x \sin \frac {1}{x} - y \sin \frac {1}{y} \right | < \epsilon. \end {Ecuación}

\noindent Por lo tanto, $\displaystyle h(x) = x \sin \frac{1}{x}$ es uniformemente continua en $(0,1)$ .

Answer 4

Creo que también es uniformemente continua en $(0,1)$ . Si $(x_{n})$ y $(y_{n})$ son secuencias que convergen a 0, entonces como $\sin$ está acotado, $x_{n}\sin(1/x_{n})$ y $y_{n}\sin(1/y_{n})$ también convergen a 0. Entonces el valor absoluto de su diferencia convergen a 0 y esto es suficiente para la continuidad uniforme.

Ahora bien, si $x_{n}\longrightarrow x$ y $y_{n}\longrightarrow y\Rightarrow |x_{n}-y_{n}|\longrightarrow |x-y|\underset{\text{if}}{=}0\Rightarrow x=y$ . Si esas secuencias no convergen a 0, entonces $x>0\Rightarrow [x-1/m,1-1/m]$ para una adecuada $m$ . Desde $x\sin(1/x)$ es continua en ese intervalo, entonces es uniformemente continua allí.