La distancia es independiente de las coordenadas

Question

Se me pide que muestre $d(x,y) = ((x_2 - x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2)^{1/2}$ no depende de la elección de coordenadas. Mi intento es:

$V$ base $B = b_1 , b_2$ $B' = b_1' , b_2'$ $T = [[a c], [b d]]$ es la transformación de coordenadas de la matriz $Tv_{B'} = v_B$ $x_{B'} = x_1 b'_1 + x_2 b'_2$ $y_{B'} = y_1b_1' + y_2b_2'$ son los vectores y la distancia en las coordenadas de $B'$$d(x_{B'},y_{B'}) = ((x_2 - x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2)^{1/2}$.

Las coordenadas en $B$$x_B = (x_1 a + x_2 c)b_1 + (x_1 b + x_2 d) b_2$, y similar,$y$. Puedo calcular el primer término de la distancia $((x_1 b + x_2 d) - (x_1 a + x_2 c))^2$. Me pueden asumir estas son las coordenadas Cartesianas de modo que $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1$$ac + bd = 0$.

Con esto he a $((x_1 b + x_2 d) - (x_1 a + x_2 c))^2 = x_2^2 + x_2^2 - 2(x_1^2 ab + x_1 x_2 bc + x_1 x_2 ad + x_2^2 cd)$. Mi problema es que $x_1^2 ab + x_1 x_2 bc + x_1 x_2 ad + x_2^2 cd \neq x_1 x_2$. Cómo resolver esto? Cómo mostrar que $x_1^2 ab + x_2^2 cd = 0$ y $bc + ad = 1$? Gracias.

Answer 1

Me gustaría probar un poco más abstracto. A veces un poco de abstracción de ayuda.

En primer lugar, la distancia puede ser calculada en términos del producto escalar. Por lo tanto, si usted tiene puntos con coordenadas Cartesianas $X,Y$, la distancia entre ellos es

$$ d(X,Y) = \sqrt{(X-Y)^t(X-Y)} \ . $$

Ahora, si usted hace una ortogonal de cambio de coordenadas de la matriz $S$, las nuevas coordenadas $X'$ y las viejas $X$ están relacionados a través de la relación

$$ X = SX' $$

donde $S$ es una matriz ortogonal. Esta es exactamente la condición de que las nuevas coordenadas son "Cartesiano". Es decir, si

$$ S = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} $$

el hecho de que $S$ es ortogonal significa que $S^tS = I$, que es

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \Longleftrightarrow \qquad a^2 + b^2 = c^2 + d^2 =1 \quad \text{y} \quad ac + bd = 0 \ . $$

Así que, ahora vamos a calcular:

$$ d(X,Y) = \sqrt{(SX' - SY')^t(SX' - SY')} = \sqrt{(X'-Y')^tS^tS(X'-Y')} = \sqrt{(X'-Y')^t(X'-Y')} \ . $$

De hecho, la distancia no depende de la Cartesiano de coordenadas.