La ecuación de $(1+x)^2\frac{dy}{dx}-xy=x^2y^2$

Question

Estoy muy agradecido por todos sus comentarios y respuestas a mi pregunta anterior sobre las Odas ( La ecuación de $(x-2xy-y^2)\frac{dy}{dx}+y^2=0$ ). Ahora estoy luchando con esto

$$(1+x)^2\frac{dy}{dx}-xy=x^2y^2.$$

No parece ser muy difícil, pero sin embargo todos los trucos sé que no en este caso.

Saludos cordiales, D.

Answer 1

Paso 1. Deje $y(x) = \frac{1}{w(x)}$. A continuación,$y^\prime(x) = -\frac{1}{w(x)^2}\cdot w^\prime(x)$, por lo que la ecuación diferencial se convierte en$ \frac{(1+x)^2 w^\prime(x) + x w(x) + x^2}{w(x)^2} = 0$$ w^\prime(x) + \frac{x}{(1+x)^2} w(x) + \frac{x^2}{(1+x)^2}=0$.

Paso 2. Factor de integración, vamos a $w(x) = f(x) g(x)$, y buscaremos $f(x)$ así como deshacerse de el plazo $x w(x)$. Sustituyendo, $f^\prime(x) g(x) + f(x) g^\prime(x) + \frac{x}{(1+x)^2}f(x) g(x) + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 0$. La elección de $f(x)$ tal que $f^\prime(x) + \frac{x}{(1+x)^2} f(x) = 0$, la ecuación se convierte en $ g^\prime(x) = -\frac{1}{f(x)} \frac{x^2}{(1+x)^2}$, que es fácilmente solucionable por un conocido $f(x)$.

Paso 3. Resolver la ecuación auxiliar $f^\prime(x) = -\frac{x}{(1+x)^2} f(x)$. Para esto, volver a escribir como $\left( \log( f(x) )\right)^\prime = - \frac{x}{(1+x)^2}$, e integrar ambos lados, dando a $\log(f(x)) = \int \frac{x}{(1+x)^2} \mathrm{d} x + C = \log(1+x) - \frac{x}{1+x} + \log f_0$. Que es $f(x) = f_0 (1+x) \exp\left( - \frac{x}{1+x} \right)$.

Paso 4. Resolver la educación a distancia para $g(x)$ por integración directa: $$\begin{eqnarray} g(x) &=& -\int \frac{1}{f(x)} \frac{x^2}{(1+x)^2} \mathrm{d} x + C = - \int \frac{1}{f_0} \exp\left( \frac{x}{1+x} \right) \frac{x^2}{(1+x)^3} \mathrm{d} x + C \\ &\stackrel{x=-\frac{t+1}{t}}{=}& \frac{\mathrm{e}}{f_0} \int \mathrm{e}^{t} \frac{t^2+2 t + 1}{t} \mathrm{d} t + C = \frac{\mathrm{e}}{f_0} \mathrm{e}^t (1+t) + \frac{\mathrm{e}}{f_0} \int \frac{\mathrm{e}^t}{t} \mathrm{d} t + C \end{eqnarray} $$ El resto de la integral no es elemental, vamos a denotar por $F(t) = \int \mathrm{e}^t \frac{\mathrm{d} t}{t}$.

Paso 5. Encontrar $y(x) = \frac{1}{w(x)} = \frac{1}{f(x) g(x)}$. $$ y(x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{1+x}}}{(1+x)\left( \exp\left(\frac{x}{1+x} \right) \frac{x}{1+x} + F\left(-\frac{1}{1+x}\right) + C\right)} = \frac{1}{x + (1+x) \exp\left( - \frac{x}{1+x} \right) \left( F\left( -\frac{1}{1+x} \right) + C \right) } $$

Paso 6. Revise su ecuación. Está usted seguro de la ecuación original es la correcta ? Si usted tiene $(1+x^2) y^\prime(x)$, en lugar de $(1+x)^2 y^\prime(x)$, la solución vendría de la primaria.