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Integral de la ecuación de Von karman

¿Cuál es el resultado de esta integral y cómo puedo proceder?

c1(1+c2x2)5/6cos(xτ)dx,c1,c2: positive constants.

Veo en un libro que el resultado contiene el {\tt 2_{\rm nd}\ \mbox{type Bessel function}} .

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Problemas relacionados (I) . Siga los pasos

1) el integrando es par por lo que se puede integrar en el intervalo (0,\infty)

2) ampliar la función \cos(x) en términos de su serie de Taylor

3) utilizar el función beta para evaluar la integral y luego resumir.

Añadido: He aquí una forma cerrada para una integral más general

c_1\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\cos\left(x\tau\right)}{\left(1 + c_{2}\,x^{2}\right)^{\alpha}}}\, \,{\rm d}x = \frac{ c_{{1}}{c_{{2}}}^{-1/4-1/2\,\alpha}{\pi}^{3/2} \,{\tau}^{\alpha-1/2}{2}^{1/2-\alpha} }{\Gamma \left(\alpha\right) \cos \left( \pi \,\alpha \right) } {{\rm I}_{1/2-\alpha}\left({\frac { {\tau}}{\sqrt {c_{{2}}}}}\right)}

en términos de función de Bessel modificada del primer tipo. Preste atención a qué valores de \alpha la fórmula anterior tiene sentido.

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Si sólo tenemos x y no x^2. ¿Cómo puedo proceder?

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@AhmedAbrous: ¡Creo que te di los pasos de cómo resolver este problema y te di una fórmula para un caso general!

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@ Mhenni Benghorbal Sí Está bien contestado, pero no puedo aceptar todas las dos respuestas. No se por que. La segunda pregunta es que supongo que tener sólo x en el lugar de x^2 . Muchas gracias.

2voto

Felix Marin Puntos 32763

\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \ds{\int_{-\infty}^{\infty}{c_{1} \over\pars{1 + c_{2}\,x^{2}}^{5/6}}\, \cos\pars{x\tau}\,\dd x\,,\qquad c_{1}, c_{2}\mbox{: positive constants.}}

\begin{align}&\int_{-\infty}^{\infty}{c_{1} \over\pars{1 + c_{2}\,x^{2}}^{5/6}}\, \cos\pars{x\tau}\,\dd x =2c_{1}\int_{0}^{\infty}{\cos\pars{x\verts{\tau}} \over\pars{1 + c_{2}\,x^{2}}^{5/6}}\, \,\dd x \\[3mm]&={2c_{1} \over c_{2}^{5/6}}\int_{0}^{\infty} {\cos\pars{x\color{#c00000}{\verts{\tau}}}\over \bracks{x^{2} + \pars{\color{#c00000}{c_{2}^{-1/2}}}^{2}}^{\color{#c00000}{1/3} + 1/2}}\,\dd x \end{align}

Con el Identidad de la función de Bessel {\bf 9.6.25} : {\rm K}_{\nu}\pars{xz} ={\Gamma\pars{\nu + 1/2}\pars{2z}^{\nu} \over \root{\pi}x^{\nu}} \int_{0}^{\infty}{\cos\pars{xt} \over \pars{t^{2} + z^{2}}^{\nu + 1/2}}\,\dd t tendremos \begin{align} &\int_{-\infty}^{\infty}{\cos\pars{x\tau} \over\pars{1 + c_{2}\,x^{2}}^{5/6}}\, \,\dd x ={\root{\pi}\verts{\tau}^{1/3} \over \Gamma\pars{1/3 + 1/2}\pars{2/\root{c_{2}}}^{1/3}}\, {\rm K}_{1/3}\pars{\verts{\tau}\,{1 \over \root{c_{2}}}} \end{align}

\begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{-\infty}^{\infty}{c_{1} \over\pars{1 + c_{2}\,x^{2}}^{5/6}}\, \cos\pars{x\tau}\,\dd x} \\[3mm]&=\color{#66f}{\large{c_{1}\root{\pi}\over \Gamma\pars{5/6}}\,\pars{\verts{\tau}\root{c_{2}} \over 2}^{1/3} \,{\rm K}_{1/3}\pars{\verts{\tau} \over \root{c_{2}}}} \end{align}

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¡Una gran respuesta (+1)! (Sé que c_1 es irrelevante aquí, pero ¿no debería estar en la expresión final?).

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@YuriyS Gracias. Tienes razón. Corregido.

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