La prueba para los elementos de $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ respecto a la existencia de la norma.

Question

Así que por un poco de contexto, yo estaba en una prueba de escritura de clase un par de meses atrás. Me gustó mucho y lo hizo bastante bien, pero a mitad de camino a través de el curso que estaban haciendo cosas con respecto a la norma de estos otros tipos de enteros (elementos de $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$). Básicamente, cosas como el hecho de que no hay ningún elemento $z$ de manera tal que la norma de $z$$-1$. Era una base de clase y pasó a ser el número de la teoría de la temática en el sentido de los conceptos básicos. En realidad, nunca se fue más allá de la $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ como clase. Yo lo hice como un proyecto extra, pero incluso entonces fue sólo de las propiedades básicas de anexar soluciones de polinomios de segundo orden para los números enteros y racionales.

Eso fue algo larga contexto, pero quería asegurarse de que la gente entienda que no nos tire cualquier avanzado teoremas ni nada de eso. Todo en la clase fue construido a partir de las cosas que hemos probado y os deseo a operar en ese marco para esta prueba.

Quiero hacer lo siguiente.

Probar que si existe elementos $z$ $x$ $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ tal que $N(z)=ab$ $N(x)=a$ donde $a$ $b$ son enteros, entonces existe un $y \in \textbf{Z}[\sqrt{3}]$ tal que $N(y)=b$.

Pasé muchos una tarde tratando de romper esta tuerca de una prueba. Puedo decir que debe ser cierto. Lo puedo sentir en mis entrañas, lol. Sólo necesito a alguien para señalar la pieza que falta.

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Fondo declaraciones:

La norma de un elemento de $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ conoce como $z = a+b\sqrt{3}$ donde $a$ $b$ son números enteros se define a ser $N(z) = a^2 - 3b^2$.

Ya hemos demostrado que la norma es siempre un número entero. Hemos demostrado, literalmente, de 100 y de alguna extraña cambio declaraciones. Así que... yo tendría que pensar un poco a la lista de todos ellos. De hecho tengo una lista (de hecho uno de la clase para el final, ya que fue libro abierto). Yo sólo tendría que encontrar el archivo.

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Lista de declaraciones que resultó en la clase. Podría ser algo trivial, me estoy perdiendo...

$\newcommand{\wbar}{\overline{w}}\newcommand{\zbar}{\overline{z}}$

Deje $w$ $z$ extenderse enteros. Demostrar que $w+z$, $w-z$, y $w\cdot z$ son extendida enteros. Dar fórmulas para cada uno.

Deje $w=a+b\sqrt3$ estar extendida entero. Definimos su conjugado, $\wbar$,$\wbar=a-b\sqrt3$.

Durante largos enteros $w$ y $z$, $\overline{(w+z)}=\wbar+\zbar$ y $\overline{(wz)}=\wbar\cdot\zbar$.

Deje $w=a+b\sqrt3$ estar extendida entero. Definimos su norma $N(w)$$N(w)=w\cdot\wbar$.

$N(w)$ es un integer ordinario, y $N(w\cdot z)=N(w)\cdot N(z)$.}

Decimos que un largo entero $w$ es una unidad si hay otro largo entero $z$ tal que $w\cdot z=1$. Si esto sucede,$N(w)= 1$, e $z=\wbar$.

Hay infinitamente muchos extendido enteros con la norma 1.

Si $w$ es un extendido entero, y $N(w)=0$,$w=0$.

Si $n\ne0$ es un número entero y hay un largo entero $w$ tal que $N(w)=n$, entonces hay infinitamente muchos extendido enteros con la norma $n$.

Si $w$ es un extendido entero y $N(w)$ es una de las principales en el ordinario enteros, a continuación, $w$ es un primo.

Deje $k$ estar extendida entero que es un divisor común de extendido enteros $z$$w$. A continuación, $k$ es divisor de cualquier número entero de la forma $xz+yw$ donde $x$ $y$ son extendida enteros. Vamos a llamar a este tipo de expresión extendida entero combinación lineal de $z$$w$.}

Deje $t$ ser distinto de cero extendido entero combinación lineal de $z$ $w$ que $|N(t)|$ es más pequeño entre todos los valores absolutos de las normas de distinto de cero extendido entero de las combinaciones lineales de $z$$w$. Demostrar que $t$ es un divisor de a$z$$w$.

Demostrar que $t$ es un divisor común de a $z$ $w$ tales que cualquier otro divisor común es un divisor de a $t$. Vamos a llamar a $t$ \emph{máximo común divisor} de a$z$$w$.

Probar que si $t'$ es cualquier otro máximo común divisor de a$z$$w$, entonces no es una unidad de $u$ tal que $t'=ut$.

Deje $z$ $w$ extenderse enteros no es igual a 0. A continuación, los siguientes son equivalentes: Todos los divisores comunes de a $z$ $w$ son unidades. Hay largos enteros $x$ $y$ tal que $xz+yw$ es una unidad. Hay largos enteros $x$ $y$ tal que $xz+yw=1$. Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que el $z$ $w$ \emph{relativamente primos}, y escribir $(z,w)=1$.

Si $(N(z),N(w))=1$,$(z,w)=1$.

Si $p$ es una de las principales en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$, e $w$ es otra extendida entero, entonces cualquiera de las $p | w$ o $(p,w)=1$.

Si $p$ es una de las principales en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$, e $p | zw$, $p | z$ o $p | w$.

Si $w$ es un extendido entero con $|N(w)|>1$, $w$ se puede escribir como un producto de números primos en la prolongación de los números enteros.}

Deje $x,y$ $z$ extenderse enteros, y supongamos $(x,z)=1$$(y,z)=1$. Demostrar que $(xy,z)=1$.

Deje $w, w', z$, e $z'$ extenderse enteros con $w\sim w'$$z\sim z'$. Demostrar que $wz\sim w'z'$.

Deje $w$ ser un primer extendido entero. Demostrar que $|N(w)|$ es un primer o el cuadrado de un primo como un integer ordinario.

Deje $w$ ser un primer extendido entero con $|N(w)|=p^2$ $p$ un primer ordinario entero. Demostrar que $w\sim p$.

Deje $p$ ser un común prime, y deje $w$ $z$ extenderse enteros con $|N(w)|=|N(z)|=p$. Demostrar que $w\sim z$ o $w\sim\zbar$.

Para distinto de cero extendido enteros $w$$z$, demuestran que, a $w\sim z$ si y sólo si ambas ${N(w)}={N(z)}$ $w/z$ es un extendido entero.

Deje $p$ ser una ordinaria número primo, y supongamos $w$ es un extendido entero tal que $|N(w)|=p$. Deje $w=a+b\sqrt3$, lo $a$ $b$ son ordinario enteros. Demostrar que $a^2\equiv3b^2\pmod{p}$.

Deje $p$ ser una ordinaria número primo, y supongamos $w$ es un extendido entero tal que $|N(w)|=p$. Deje $w=a+b\sqrt3$, lo $a$ $b$ son ordinario enteros. Demostrar que $p\nmid b$.

Deje $p$ ser una ordinaria número primo, y supongamos $w$ es un extendido entero tal que $|N(w)|=p$. Deje $w=a+b\sqrt3$, lo $a$ $b$ son ordinario enteros. Demostrar que existe un entero $c$ tal que $bc\equiv1\pmod{p}$.

Deje $p$ ser una ordinaria número primo, y supongamos $w$ es un extendido entero tal que $|N(w)|=p$. Deje $w=a+b\sqrt3$, lo $a$ $b$ son ordinario enteros. Mostrar que $(ac)^2\equiv3\pmod{p}$, y por lo tanto $[3]$ es un cuadrado en $Z/p$.

Deje $w$ $z$ ser extendidas enteros. Demostrar que $w\sim z$ si y sólo si $w | z$$z | w$.

Ahora supongamos $w$ $z$ son de primer extendido enteros. Demostrar que $w\sim z$ o $(w,z)=1$.

Deje $w\sim z_1\cdots z_k$, donde todas las variables son los principales extendido enteros. Demostrar que $k=1$.

Deje $w_1w_2\sim z_1\cdots z_k$, donde de nuevo todas las variables son los principales extendido enteros. Demostrar que $k=2$.

$w_1w_2\sim z_1z_2$, donde todas las variables son los principales extendido enteros. Demostrar que $w_1\sim z_1$ $w_2\sim z_2$ o más $w_1\sim z_2$$w_2\sim z_1$.

Ahora supongamos que $w_1w_2w_3\sim z_1z_2z_3$, con todas las variables de primer extendido enteros. Demostrar que hay una cierta reordenación de la $z$'s para que $w_1\sim z_1$, $w_2\sim z_2$, y $w_3\sim z_3$.

Probar que si $w_1\cdots w_k\sim z_1\cdots z_k$, con todas las variables de primer extendido enteros, entonces hay una cierta reordenación de la $z$'s para que $w_j\sim z_j$ todos los $j$$1\le j\le k$.

Demostrar que no es un integer ordinario $n$ tal que $N(n+\sqrt3)$ es divisible por $p$.

Demostrar que existe un primer extendido entero $w$ tal que $w | (n+\sqrt3)$$p | N(w)$.

Deje $w$ ser un primer extendido entero como en el enunciado anterior. Demostrar que $|N(w)|=p$.

Probar que si $3 |N(w)$,$\sqrt3 | w$.

Probar que si $2 | N(w)$,$(1+\sqrt3) | w$.

Deje $p$ ser un común prime tal que $[3]$ no es un cuadrado en $Z/p$. Probar que si $p | N(w)$,$p | w$.

Deje $p$ ser un común prime tal que $[3]$ es un cuadrado en $Z/p$. Probar que si $p | N(w)$, hay un largo prime $x$ tal que $|N(x)|=p$$x | w$.

Supongamos $3\nmid|N(w)|$ por un largo entero $w$. Demostrar que $N(w)=|N(w)|$ si y sólo si $|N(w)|\equiv1\pmod{3}$.

Supongamos $|N(w)|=3^a$ por un largo entero $w$ y un entero no negativo $a$. Demostrar que $N(w)=(-1)^a|N(w)|$.

Supongamos $n$ es un entero positivo. Demostrar que no son los únicos enteros $a\ge0$ $k>0$ tal que $n=3^a\cdot k$ $k$ no es divisible por 3.

Vamos $a$, $b$, $c$, y $d$ ser enteros, y supongamos que $a+b\sqrt3=c+d\sqrt3.$ Demostrar que $a=c$$b=d$.

Vamos $a$, $b$, y $c$ ser enteros, y supongamos que $(a,b)=(a,c)=1$. Demostrar que $(a,bc)=1$.

Demostrar que no existen enteros $a$ $b$ tal que $a^2-3b^2=-1$. El uso de este resultado a la conclusión de que no hay extensas enteros $w$ tal que $N(w)=-1$.

Probar que si $w$ es un extendido entero y $N(w)$ es una de las principales en el ordinario enteros, a continuación, $w$ es un primo. A la conclusión de que $7+2\sqrt3$ es una de las principales en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$.

Demostrar que $7+2\sqrt 3$ $7-2\sqrt3$ tienen 1 como máximo común divisor. Escribir 1 como entero combinación lineal de $7+2\sqrt3$$7-2\sqrt3$.

Probar que si $w$ es un extendido entero y que $|N(w)|=3^k$$k\ge0$,$N(w)=(-3)^k$.}

Supongamos $p$ es un primer ordinario entero y $w$ es un primer extendido entero, y que $p | N(w)$ (ordinarias de enteros). Demostrar que $w | p$. Sugerencia: Desde $w$ es primo, sabemos que cualquiera de las $w | p$ o $(w,p)=1$.

Probar que si $w$ es un extendido entero con $|N(w)|>1$, $w$ se puede escribir como un producto de números primos en la prolongación de los números enteros.

Deje $p$ ser un común prime con un largo entero $w$ tal que $|N(w)|=p$. A continuación, $w\sim\wbar$ si y sólo si $p=2$ o 3.

Deje $p$ ser un común prime tal que $[3]$ no es un cuadrado en $\textbf Z/p$. Demostrar que $p$ es también una excelente extendido entero.

Deje $w_1\cdots w_n=z_1\cdots z_k$, donde todas las variables son los principales extendido enteros. A continuación,$n=k$.

Deje $w$ estar extendida entero. Demostrar que $w$ es una de las principales en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$ si y sólo si $\wbar$ es una de las principales en $\textbf{Z}[\sqrt{3}]$.

Supongamos $w$ es un extendido entero y $n$ es un integer ordinario (y por lo tanto también una ampliación de entero). Si $(w,n)=1$$(\wbar,n)=1$.

Deje $w$ estar extendida entero con $w\ne0$. Deje $|N(w)|=3^a\cdot k$ donde $3\nmid k$. Luego hay un largo entero $z$ tal que $w=(\sqrt3)^a\cdot z$ $|N(z)|=k$

Answer 1

No hay nada de malo con Akiva Weinberger post. Sin embargo, dado que este post fue hecho en el contexto de un poco más riguroso y formal, voy a postear una prueba formal de que creo que sería lo más probable es considerado aceptable en ese entorno.

Deje $z$ $y$ extenderse enteros tales que para enteros $a > 1$ y $b > 1$, $N(z) = ab$ y $N(x) = a$. Entonces existe una extendida entero $y$ tal que $N(y) = b$.

Prueba:

Primero un poco de información de fondo. Desde $N(z) > 1$ podemos escribir $z = p_1 p_2 p_3 \cdots p_n$ donde todos los $p$'s son los principales extendido enteros y $n$ es el único número de factores primos. Por las propiedades del conjugado $\overline{z} = \overline{p_1} \overline{p_2} \overline{p_3} \cdots \overline{p_n}$.

Dado que el número de factores primos en un largo entero es único, vamos a realizar inducción completa junto con el número de factores en $x$.

Para el caso base suponemos que $x$ es un primer extendido entero. Por lo tanto, $\overline{x}$ es también una excelente extendido entero. Desde $N(x) | N(z)$ podemos afirmar que existe un $j \in Z$ tal que $x | p_j$$0 < j \leq n$. Por lo tanto, ya que ambos son números primos se puede decir que el $N(x) = N(p_j)$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $j = 1$. Por lo tanto,$\frac {N(z)}{N(x)} = N(p_2) N(p_3) \cdots N(p_n)$. Por las propiedades de la norma, existe un extendido entero $y$ tal que $N(y) = N(p_2) N(p_3) \cdots N(p_n) = b$. Esto completa el caso base.

Para el paso inductivo, asumimos que la declaración es verdadera siempre que $x$ $m$ factores primos y tratan de demostrar que cuando se $x$ $m+1$ extendido entero de factores primos. En primer lugar, podemos escribir $x = q_1 q_2 q_3 \cdots q_{m+1}$. Debido a la factorización sabemos que $N(q_{m+1}) | N(z)$. Por lo tanto, existe una extendida entero $w$ tal que $N(w) = N(q_1) N(q_2) N(q_3) \cdots N(q_{m}) b$. Desde $q_1 q_2 q_3 \cdots q_{m}$ $m$ extendido entero factores primos que por inducción existe una extendida entero $y$ tal que $y = \frac {N(z)}{N(x)} = b$. Esto completa el paso inductivo.

Por lo tanto, mediante la inducción de la prueba es completa para todos extendido enteros.

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Comentarios

Es muy posible que yo podría hacerlo sin la inducción, sino que es el método que era algo natural para mí. Creo que también hace la prueba más fácil de leer, que es, por mucho, el segundo componente más importante (la primera es rigurosa justificación). Crédito a Akiva Weinberger para pensar en el espléndido método de factorización. Yo había estado tratando de hacerlo de manera algebraica a través de la división por algún tiempo con un completo fracaso. Ahora veo que el factoring fue tanto la intuición que me llevó a pensar en la conjetura así como el único argumento simplista que puede suficientemente probarlo.

Para aquellos que pueden ser curioso, estoy aceptando esta respuesta ya que es el que mejor se adapte al estilo de las pruebas que el resto fueron construidos en.

Answer 2

$x\bar x$'s de la descomposición en factores primos es un producto de conjugar pares; $z\bar z$, cuya descomposición en factores primos es un subconjunto de a $x\bar x$'s, es también un producto de conjugar pares. El cociente $\frac{x\bar x}{z\bar z}$ es, pues, el producto de conjugar los pares (inductivamente por cancelando un par conjugado en un tiempo del numerador y del denominador), lo que significa que es la norma de algo (elegir uno de cada par conjugado).