Versal extensiones de álgebras de

Question

Estoy leyendo el principio de Sernesi del libro "las Deformaciones de la algebraicas esquemas", y yo estoy atrapado en un ejemplo de un versal de extensión.

Fondo: $A\to R$ es un anillo fijo homomorphism. Por un $A$-extensión de $R$ ( $I$ ) nos referimos a una secuencia exacta $0\to I\to R'\to R\to 0$ donde $R'$ $A$- álgebra y $I^2=0$. Por un morfismos de extensiones nos referimos a un diagrama conmutativo

donde $h$ $A$- álgebra homomorphism. Una $A$-extensión se dice ser versal si tiene un morfismos a cualquier otro $A$-extensión.

En el libro, se afirma lo siguiente: si $P$ es un polinomio $A$-álgebra y $R=P/I$, $$0\to I/I^2\to P/I^2\to R\to 0$ $ es un versal de extensión.

Pregunta: me gustaría ver por qué la anterior secuencia exacta admite una morfismos a cualquier otra extensión. Por otra parte, también se afirma que la tal $P$ siempre existe (por un fijo $A$-álgebra $R$). ¿Por qué es que verdad? Parece que cualquier $A$-albegra es el cociente de un polinomio $A$-álgebra.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

En primer lugar, creo que no es necesario asumir que $R$ es finitely generado más de $A$. Simplemente deje $P = A[\{x_i\}_{i\in \Lambda}]$ ser un polinomio anillo sobre cualquier conjunto de índices $\Lambda$ tal que $R$ puede ser generado por los elementos de a $\{r_i\}_{i\in \Lambda}$, y el mapa de $x_i\mapsto r_i$. Indicar el kernel por $I$. Deje $\pi\colon P \to R$ $\overline\pi\colon P/I^2 \to R$ ser el cociente de los mapas.

Deje $0\to J\to R''\to R\to 0$ ser de cualquier extensión como en su diagrama. Desde $\psi$ es surjective, para cualquier $i\in \Lambda$ hay algo de $r_i''\in R''$ tal que $\psi(r_i'') = r_i = \pi(x_i) = \overline\pi(\overline x_i)$. Hacer alguna elección de $r_i''$'s, y definir $\tilde h\colon P\to R''$$x_i\mapsto r_i''$. Desde $P$ es el polinomio, esto determina un homomorphism de $A$-álgebras. Para conseguir nuestro $h$, queremos mostrar que $\tilde h(I^2) = (0)$.

Tenga en cuenta que $\pi = \psi\circ \tilde h$ por construcción, ya que este tiene para todos los $x_i$. Deje $a\in I$. Luego tenemos a $0 = \pi(a) = \psi\circ \tilde h(a)$, lo que implica $\tilde h(a)\in \operatorname{Ker}(\psi) = J$. Por lo tanto, si $a\in I^2$,$\tilde h(a)\in J^2 = (0)$, lo que muestra que $\tilde h(I^2) = (0)$. Por lo tanto $\tilde h$ factores a través de un mapa de $h\colon P/I^2\to R''$ satisfacción $h(I)\subseteq J$.

Tenga en cuenta también que este homomorphism $h$ es posiblemente no único.