La diferenciación de $x^{\sqrt{x}}$, ¿cómo?

Question

La respuesta es (creo) $x^{\sqrt{x}-0.5} (1+0.5\ln(x))$, pero ¿cómo?

Answer 1

La forma de diferenciar la mayoría de las expresiones de la forma $x^{f(x)}$ es reescribir como $e^{f(x)\ln(x)},$ y, a continuación, utilice la cadena de productos y de reglas, y que funciona en este caso también.

Answer 2

Probablemente voy a obtener de arrojado de piedras en mí para lo que sugiere que esta, pero vamos a ver $x^{f(x)}$ como un híbrido de una función de potencia $x^k$ y un compuesto de función exponencial $b^{f(x)}$. Es realmente legítimo para tomar derivados de estas dos funciones simples y sumarlas para obtener la derivada. $$\begin{align}\frac{d}{dx}x^{f(x)}&=\overbrace{f(x)x^{f(x)-1}}^{\text{power rule}}+\overbrace{x^{f(x)}\ln(x)}^{\text{exponential rule}}\cdot\overbrace{f'(x)}^{\text{chain rule}}\\ &=x^{f(x)} \left(\frac{f(x)}{x}+\ln(x)f'(x)\right)\end{align}$$ which is completely consistent with the "correct" approach of rewriting the function as $e^{f(x)\ln(x)}$ and using the chain and product rules. I don't recommend that you think this way, I just find this curious. I'd love to see a rigorous explanation for this happy coincidence that does not essentially appeal to rewriting as $e^{f(x)\ln(x)}$.

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Creo que he encontrado uno. Deje $F(y,z)=y^z$$y=g(x)$$z=f(x)$, entonces en realidad $F(y(x),z(x))=g(x)^{f(x)}$. Ahora, utilizando la regla de la cadena para multivariante funciones, $$\begin{align}\frac{d}{dx}g(x)^{f(x)}=\frac{dF}{dx}&=\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dx}\\&=zy^{z-1}\frac{dy}{dx}+y^z\ln(y)\frac{dz}{dx}\\&=f(x)(g(x))^{f(x)-1}g'(x)+g(x)^{f(x)}\ln(g(x))f'(x)\\&=g(x)^{f(x)}\left(\frac{f(x)g'(x)}{g(x)}+\ln(g(x))f'(x)\right)\end{align}$$

Answer 3

Vamos a escribir $E'$ a la media de la derivada de la expresión $E$.

A continuación, en general: $$\begin{align} u^v & = e^{v\log u} \\ (u^v)' &= \left(e^{v\log u}\right)'\\ &=e^{v\log u}\cdot (v\log u)'\\ &=u^v \left(v'\log u + v\frac {u'}u\right) \\ &=u^vv'\log u + u^{v-1}vu' \end{align}$$

Para comprobar, trate de tomar uno de $u$ o $v$ a ser la identidad de la función y el otro a ser una constante.

Answer 4

$$y=x^{\sqrt{x}}$$ $$\ln y=\sqrt{x}\ln x$$ ahora diferenciar w.r.t. x utilizando la regla de la cadena $$\dfrac {1}{y}\cdot\dfrac {dy}{dx}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}+\dfrac{\ln x}{2\sqrt x}$$ $$\dfrac {dy}{dx}=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\dfrac{2+\ln x}{2\sqrt x}\right)$$