cuadrados perfectos posible?

Question

Si dejamos a, b, c, d y x ser enteros, es posible que $$x^2+a^2 = (x+1)^2 + b^2 = (x+2)^2 + c^2 = (x+3)^2 + d^2$$

Mi idea inicial es de ninguna manera! Traté de ampliar y simplificar, consiguiendo $$a^2 = 2x+1 + b^2 = 4x+4 + c^2 = 6x+9 + d^2$$.

Parece que la diferencia entre los cuadrados perfectos es imposible - pero, ¿por qué? Consecutivos cuadrados perfectos siempre se diferencian por algunos $2n+1$ plazo, y cada término debe seguir aumentando por una cantidad impar...

Todas las ideas en la dirección correcta son muy apreciadas!

Answer 1

Voy a conseguir. Mod 4 es suficiente. Bien, mod 8 de todos modos. Uno de $x,x+1,x+2,x+3$ es divisible por 4. Si su correspondiente pareja de $a,b,c,d$ es incluso, el común de la suma es divisible por 4, y en realidad no podemos tener cualquiera de los números impares implicados, lo que no puede ocurrir con el consecutivo $x,x+1,x+2,x+3.$ detalles que: la suma de dos impares plazas es $2 \pmod 4.$

Así, la pareja es impar, la suma es $1 \pmod 8.$ Uno de los otros $x+j$ números es$2 \pmod 4,$, de modo que la suma debe ser$5 \pmod 8.$, por Lo que, en realidad, imposible.

Hecho.