Demostrar que $b^2=a^2$

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $8$. Asumir que no existe $a \in G$ tal que $\lvert a\rvert =4$ y que no hay elementos de $G$ orden $8$. Asumir $\langle a \rangle \lhd G$, $b \notin \langle a\rangle$ y $b^2 \in \langle a\rangle$. Supongamos que $\lvert b\rvert=4$, luego de Demostrar que $b^2=a^2$.

No está seguro de cómo hacerlo. Ayuda apreciada.

Answer 1

Sugerencia: Si $|b|=4$$|b^2|=...$. Sabemos que $b^2 \in \langle a \rangle$. ¿Qué elemento de la $\langle a \rangle$ tiene el mismo orden como $b^2$?

Answer 2

Si $b\in \langle a\rangle$ $b^{2}=a^{k}$ algunos $0\leq k\leq 3$. Pero sabemos $|b|=4$ $b^{2}$ es de orden 2. Se puede comprobar que el único elemento de orden 2 en $\langle a\rangle$$a^{2}$. Por lo tanto $b^{2}=a^{2}$. Ι no ver donde la hipótesis de que la $\langle a\rangle \triangleleft G$ $b\notin \langle a\rangle$ son necesarios, aunque.