Sean a y b tales que$-2A^2 + 4A -3I_2 = aA + bI_2$. Encontrar $a + b$.

Question

$A \in M_2$ con el polinomio característico$p(x) = x^2 -3x - 5$. Sean a y b tales que$-2A^2 + 4A -3I_2 = aA + bI_2$. Encontrar $a + b$.

Answer 1

Si eso es correcto. Una forma más sencilla de hacerlo sería usar el teorema de Cayley-Hamilton, es decir, la afirmación de que cada matriz satisface su polinomio característico. Desde aquí, simplemente puede decir que$A^2=3A+5$ y sustituir esto en.

Answer 2

Una matriz satisface su polinomio característico. $$-2A^2+4A-3I=aA+bI$ $$$-2A^2+(4-a)A+(-3-b)I=0$ $$$-2\left(A^2+\frac{a-4}{2}A+\frac{3+b}{2}I\right)=0$ $$$A^2+\frac{a-4}{2}A+\frac{3+b}{2}I=0$ $ De esto necesitamos:$$\frac{a-4}{2}=-3$ $$$a-4=-6$ $$$a=-2$ $ y$$\frac{3+b}{2}=-5$ $$$3+b=-10$ $$$b=-13$ $ Así que$a+b=-15$