Evaluar $\int^{\pi}_0\arctan\left(\frac{p\sin x}{1-p\cos x}\right)\sin(nx) dx$ por diferenciación bajo integral?

Question

He visto que

$$ \int^{\pi}_{0}\arctan \left(\frac{p \sin x}{1-p \cos x}\right) \sin(nx) dx=\frac{\pi}{2n} p^n $$ para $$p^2 <1$$

Intenté demostrarlo usando la diferenciación bajo la integral pero me quedé atascado en este paso

$$ I^{\prime} (p)=\int^{\pi}_{0} \frac{\sin x \sin (nx)}{1+p^2-2p \cos x}dx $$

¿Qué hacer ahora?

Answer 1

Para $p^{2} <1$ , $$\frac{\sin x}{1+p^{2}-2p \cos (x)} = \sum_{k=1}^{\infty} p^{k-1} \sin(kx). $$

Esto se puede derivar evaluando la serie geométrica $\sum_{k=0}^{\infty}(p e^{ix})^{k} $ .

Así que asumiendo $n$ es un número entero positivo, tenemos

$$ \begin{align} I'(p) &= \int_{0}^{\pi} \sin (nx) \sum_{k=1}^{\infty} p^{k-1} \sin(kx) \, dx \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}p^{k-1} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \sin(kx) \, dx \\ &= p^{n-1} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}(nx) \, dx \tag{1} \\ &= \frac{p^{n-1}}{2} \left(\int_{0}^{\pi} \, dx - \int_{0}^{\pi} \cos(2nx) \, dx \right) \\&= \frac{p^{n-1}}{2} (\pi-0) \\ &= \frac{\pi}{2}p^{n-1}. \end{align}$$

$(1)$ Las funciones $\sin(nx)$ y $\sin(kx)$ son ortogonales en $[0, \pi]$ a menos que $k=n$ .

Answer 2

Suponemos que $p^2<1$ .

Primero observe que $$ 2I^{\prime} (p)=\!\!\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{2\sin x \sin (nx)}{1+p^2-2p \cos x}dx =\!\!\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos((n-1)x)}{1+p^2-2p \cos x}dx-\!\!\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos((n+1)x)}{1+p^2-2p \cos x}dx. \tag1 $$ Entonces, por el cambio de variable $t=\tan (x/2)$ se obtiene $$ \int^{\pi}_{0} \frac{1}{1+p^2-2p \cos x}\:dx =\int_0^{\infty} \frac{2 \:dt}{(1-p)^2+(1+p)^2t^2}=\frac{\pi}{1-p^2}.\tag2 $$ A partir de la identidad de la suma geométrica estándar, se puede demostrar que $$ \frac{1-p^2}{1+p^2-2p \cos x}=1+2\sum_{k=1}^{n-1}p^k\cos(kx)+\frac{2\:p^n\cos(nx)}{1+p^2-2p \cos x}-\frac{2\:p^{n+1}\cos((n-1)x)}{1+p^2-2p \cos x}.\tag3 $$ Desde $\displaystyle \int^{\pi}_{0}\cos(kx)dx=0$ , para $k=1,2,\cdots$ y, a continuación, integrando $(3)$ de $x=0$ a $x=\pi$ da, utilizando $(2)$ , $$ \require{cancel} \cancel{(1-p^2)}\frac{\pi}{\cancel{(1-p^2)}}=\pi+2\:p^n\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos(nx)}{1+p^2-2p \cos x}dx-2\:p^{n+1}\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos((n-1)x)}{1+p^2-2p \cos x}dx. \tag4 $$ Desde $(4)$ deducimos $$ \int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos(nx)\:dx}{1+p^2-2p \cos x}\!=\!p\!\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\cos((n-1)x)\:dx}{1+p^2-2p \cos x}\!=\cdots=\!p^n\!\int^{\pi}_{0}\!\! \frac{\:dx}{1+p^2-2p \cos x}=\!\frac{\pi\:p^n}{1-p^2}, \tag5 $$ utilizando $(2)$ .

Por último, desde $(5)$ , $(1)$ reescribe $$ \require{cancel} 2I^{\prime} (p)=\frac{\pi\:p^{n-1}}{1-p^2}-\frac{\pi\:p^{n+1}}{1-p^2}=\frac{\pi\:p^{n-1}}{\cancel{1-p^2}}(\cancel{1-p^2}) $$ o $$ I^{\prime} (p)=\frac{\pi}2 \:p^{n-1} $$ entonces integrando con respecto a $p$ , utilizando $I(0)=0$ obtenemos $$ I(p)=\frac{\pi}{2n} \:p^n,\quad n\geq1, $$ es decir

$$ \int^{\pi}_{0}\arctan \left(\frac{p \sin x}{1-p \cos x}\right) \sin(nx) \:dx=\frac{\pi}{2n}\: p^n,\qquad p^2<1,\, n\geq1. $$