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Buscando idea para resolver una integral.

Busco idea para resolver abajo integral.

PS

Traté de usar la sustitución, pero me quedé atascado

¿Puede alguien ayudarme a encontrar esta integral? Estoy agradecido por su insinuación en avanzado. (Estaba en el libro de termodinámica)

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Matthew Scouten Puntos 2518

Por supuesto, en primer lugar quiero hacer un cambio de variable $u = x/a$. Para enteros positivos $j$,

$$ \int_0^1 \frac{x^j\; dx}{\left(1-x^{3/4}\right)^{1/3}} = {\frac {4\;\Gamma \left( 4(j+1)/3 \right) \Gamma \left( 2/3 \right) }{3\;\Gamma \left( (4j+6)/3\right) }} $$

A continuación, $ \int_0^1 \frac{\cos(tx)\; dx}{(1-x^{3/4})^{1/3}}$ puede ser expresado como un lugar desagradable combinación de funciones hipergeométricas: $$ \eqalign{\int_0^1 \frac{\cos(tx)\; dx}{(1-x^{3/4})^{1/3}} &= {\frac {8\,\pi\,\sqrt {3}}{27} {\mbox{$_6$F$_{11}$}\left({\frac{7}{24}},{\frac{5}{12}},{\frac{13}{24}},{\frac{19}{24}},{\frac{11}{12}},{\frac{25}{24}};\frac14,\frac13,\frac38,\frac12,\frac12,\frac58,\frac34,\frac56,{\frac{7}{8}},1,{\frac{9}{8}};\,{\frac {-{t}^{6}}{46656}}\right)} }\cr y- {\frac {81\,{t}^{2}}{220} {\mbox{$_7$F$_{12}$}\left(\frac58,\frac34,{\frac{7}{8}},1,{\frac{9}{8}},\frac54,{\frac{11}{8}};\,{\frac{7}{12}},\frac23,{\frac{17}{24}},\frac56,\frac56,{\frac{23}{24}},{\frac{13}{12}},\frac76,{\frac{29}{24}},\frac43,\frac43,{\frac{35}{24}};\,{\frac {-{t}^{6}}{46656}}\right)} }\cr &+{\frac {187\,\sqrt {3} \Gamma \left( \frac23 \right)^{3}{ t}^{4}}{11856\,\pi} {\mbox{$_6$F$_{11}$}\left({\frac{23}{24}},{\frac{13}{12}},{\frac{29}{24}},{\frac{35}{24}},{\frac{19}{12}},{\frac{41}{24}};\,{\frac{11}{12}},{\frac{25}{24}},\frac76,\frac76,{\frac{31}{24}},{\frac{17}{12}},\frac32,{\frac{37}{24}},\frac53,\frac53,{\frac{43}{24}};\,{\frac {-{t}^{6}}{46656}}\right)} } }$$ No sé si esto puede ser simplificado.

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