Encuentra la suma de una serie.

Question

Estoy tratando de encontrar la suma de las siguientes series:

PS

Intenté "convertirlo" en una serie geométrica simple, pero sin suerte. ¿Alguien tiene alguna idea?

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¡Gracias por la inspiración! Mi solución:$$\sum^\infty_{n=1}\frac {(x-3)^{2n}}{2n}$ $

Me preguntaba si hay alguna condición?

$$\sum^\infty_{n=1}\frac {(x-3)^{2n}}{2n} = \sum^\infty_{n=1}{\frac{z^{2n}}{2n}}=\sum^\infty_{n=1}{\int_0^z{z^{2n-1}}dz}=\int^z_0{\sum^\infty_{n=1}{z^{2n-1}}}=\int^z_0{\frac{z}{1-z^2}}=-\frac12 log(-x^2+6x-8)$ y y $x\neq4$

Answer 1

Sugerencia:$$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ $

Deje$x=x^2$, luego:$$\log(1-x^2)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n}}{n}$ $

Answer 2

Ya que para cualquier$|z|<1$ tenemos:$$ -\log(1-z)=\sum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n}, \tag{1} $ $$$ -\log(1+z)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n\, z^n}{n}, \tag{2} $ $ (puede verificarlos ambos integrando a la vez las series geométricas usuales para$\frac{1}{1-z}$ o$\frac{1}{1+z}$) por solo sumando$(1)$ y$(2)$ one se obtiene:$$ -\frac{1}{2}\log(1-z^2)=\sum_{n\geq 1}\frac{z^{2n}}{2n} \tag{3}$ $ para cualquier$|z|<1$. Ahora solo necesita reemplazar$z$ con$x-3$.