Me preguntaba si los siguientes escenarios son posibles: 1) composición de una función analítica con una función continua no analítica siendo analítica (salvo casos triviales) 2) composición de dos funciones no analíticas siendo analíticas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
1) Que $U$ y $V$ sean subconjuntos abiertos del plano complejo y que $f\colon U \to \mathbb{C}$ sea analítico y $g\colon U \to V$ sea real-diferenciable . Supongamos que $f\circ g$ es analítico en $U$ y que $f'(z)\ne 0$ en cada punto $z \in U$ . Reclamación : $g$ es analítico en $U$ .
Prueba . Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, para cada $w\in U$ la matriz jacobiana $Df(w)$ es un múltiplo escalar de una matriz de rotación: $$Df(w)=\alpha R_\theta.$$ El coeficiente $\alpha$ no desaparece debido a la suposición sobre $f'(z)$ . Desde $f\circ g$ es analítica, lo mismo debe ocurrir con la matriz jacobiana $D(f\circ g)(z)$ : $$Df(g(z))Dg(z)=\beta R_\phi.$$ Así que $$Dg(z)=\frac{\beta}{\alpha}R_{\phi-\theta}.$$ Por lo tanto, de nuevo por las ecuaciones de Cauchy-Riemann, $g$ es analítica.
Esto no responde a su pregunta, ya que usted pidió menos regularidad en $g$ pero al menos insinúa que el fenómeno es improbable.
2) La composición de la cartografía no analítica $$z\mapsto \frac{1}{\overline{z}}$$ con ella misma es analítica. (Este es esencialmente el mismo ejemplo que el de la patata.)
