Usando diagrama de cuadrícula para calcular el polinomio de Alexander

Question

He estado leyendo el libro "Red de Homología de Nudos y Enlaces' (ver https://web.math.princeton.edu/~petero/GridHomologyBook.pdf) - en la Sección 3.3 se proporciona una manera de calcular el polinomio de Alexander el uso de la cuadrícula de diagramas. Específicamente, se dio una fórmula explícita para el polinomio de Alexander en la Definición 3.3.4 en la Página 53. Sin embargo, cuando me lo probé en la mano izquierda nudo de trébol, que no parece funcionar. Por favor, ¿podría darme un poco de ayuda:

La cuadrícula diagrama que he estado trabajando es como sigue.

A partir de aquí me han obtenido de la matriz de

$$ M(\mathbb{G})= \begin{pmatrix} 1 & 1 & t & t & t\\ 1 & t & t^2 & t^2 & t\\ 1 & t & t^2 & t & 1\\ 1 & t & t & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$

de que el factor determinante es $t^6-5t^5+11t^4-14t^3+11t^2-5t+1$ (ver https://www.wolframalpha.com/input/?i=det(%7B%7B1,1,t,t,t%7D,+%7B1,t,t%5E2,t%5E2,t%7D,+%7B1,t,t%5E2,t,1%7D,+%7B1,t,t,1,1%7D,%7B1,1,1,1,1%7D%7D) para la verificación).

Ya que es un $5 \times 5$ cuadrícula, tenemos $n=5$, por lo que multiplicando la expresión anterior con $(t^{-1/2}-t^{1/2})^{-4}$, lo que da $(t^4-t^3+t^2)$. Así que mirando a la fórmula en el libro, necesitaríamos $a(\mathbb{G})$ a $-3$ dar la correcta Alexander polinomio $\Delta(t)=t^{-1}-1+t$ (ver http://mathworld.wolfram.com/TrefoilKnot.html). Pero no estoy seguro de cómo obtener que se basa en la instrucción de la Definición anterior 3.3.4:

Sumando estas contribuciones para todos O y X y dividiendo el resultado por 8, obtenemos un número $a(\mathbb{G})$ asociado a la $n \times n$ cuadrícula.

Esto es parte de mi proyecto, pero por desgracia no puedo encontrar muchos recursos en línea. También he encontrado una tesis de maestría (por Nancy Scherich) sobre este tema (ver https://nancyscherich.files.wordpress.com/2018/01/the-alexander-polynomial.pdf, donde el "Buscaminas matriz" en la Página 32 daría el mismo determinante $M(G)$, sin embargo no creo que el Teorema 5.8 es correcto ya he probado algunos ejemplos...)

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Vamos a calcular $a(\mathbb{G})$ por su ejemplo.

La liquidación de los números en las intersecciones de las líneas horizontales y verticales (incluyendo la parte superior y derecha de las líneas) están dadas por la matriz $$\begin{array}{r r r r r r} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -2 & -2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$

Voy a código de color de las entradas de la matriz de la siguiente manera: un negro de entrada no está en la esquina de cualquier $X$ o $O$, de un rojo de entrada está en la esquina de exactamente un $X$ o $O$, y un azul de entrada está en la esquina de exactamente dos $X$'s o $O$'s.

$$\begin{array}{r r r r r r} 0 & \color{red}{0} & \color{red}0 & 0 & \color{red}0 & \color{red}0\\ \color{red}0 & \color{blue}0 & \color{red}{-1} &\color{red}{-1} & \color{blue}{-1} & \color{red}{0}\\ \color{red}{0} & \color{red}{-1} & \color{red}{-2} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-1} &\color{red}{0}\\ 0 & \color{red}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{0} & \color{red}{0}\\ \color{red}{0} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{0} & \color{red}{0} & 0\\ \color{red}{0} & \color{red}0 & \color{red}0 & \color{red}0 & 0 & 0 \end{array}$$

Entonces $$a(\mathbb{G}) = \frac{1}{8}\left(\sum\text{red entries} + 2\sum\text{blue entries}\right)=-3,$$ como se desee.