Trayectoria óptima bajo restricción de aceleración

Question

Deje $x(t) \in \mathbb{R}$, de tal manera que $x(0) = x_0$, $\dot{x}(0) = v_0$ Encontrar la trayectoria óptima para $x(t)$, de tal manera que $$L = \int_{t=0}^T|x(t) - x_f|^2dt$$ se reduce al mínimo, sujeto a la restricción $|\ddot{x}(t)| \leq a_0, \forall t$. $x_0, x_f, v_0$ e $a_0$ son conocidos constantes.

Cualquier conocimiento sobre métodos para atacar este tipo de problemas son bienvenidos. Agradecería cualquier consejo.

Edit: me gustaría hacer hincapié en que la parte esencial de esta pregunta está demostrando que la trayectoria es la óptima. El problema anterior es una versión simplificada del problema real estoy de problemas. Por lo tanto, pido el principio de construcción necesarios y suficientes ecuaciones para encontrar la trayectoria óptima.

Answer 1

No sé de ningún método general aquí, así que me quedo con una suposición basada en la simple intuición física. Mi conjetura es que la solución óptima será para cambiar entre la aceleración máxima en una dirección, luego en otra dirección (para matar a la velocidad y evitar demasiado grande sobregiro) y, a continuación, permanecer poner (cuando hemos alcanzado el punto de $x_f$ con velocidad cero). Para estos casos, se puede fácilmente calcular el valor de $L$ , el cual podría servir como un cheque contra otras posibles soluciones.

Al cambiar el sistema de coordenadas y reescalado coordenadas de tiempo y espacio podemos por simplicidad, suponga que $x_0 = 0$, $x_f = 1$ e $T = 1$. Voy a suponer también que la velocidad inicial $x'(0) = 0$. Para el caso de que somos libres para escoger la $x'(0)$, ver el final de esta respuesta. Vamos a dividir en tres casos, dependiendo del tamaño de la aceleración máxima.

Si $a_0<2$ , entonces la solución es acelerar al máximo, todo el camino a lo $x(t) = \frac{a_0t^2}{2}$. Para este caso es claro que esta es la solución óptima y tenemos $L = 1 - \frac{a_0}{3} + \frac{a_0^2}{20}$.

Si $2<a_0<4$ luego nos acelerar al máximo, hasta que $t = 1 - \sqrt{\frac{(a_0-2)}{2a_0}}$ y luego voltear el signo de la aceleración y desacelerar al máximo, hasta llegar a la $x_f = 1$ a $t=1$. Para este caso $L = \frac{22 a_0^3-120 a_0^2+280 a_0 - 15\sqrt{2(a_0-2) a_0}(a_0-2)^2}{240a_0}$.

Si $a_0 > 4$ luego nos acelerar al máximo, hasta que $t = \frac{1}{\sqrt{a_0}}$ luego declerate a max hasta $t = \frac{2}{\sqrt{a_0}}$ (para los que estamos en $x_f=1$ con velocidad cero), y luego dejar de acelerar y quedarse. Para este último caso nos encontramos con $L = \frac{23}{30\sqrt{a_0}}$.

Una parcela de la solución para $a_0 = 16$ es la siguiente:

En la propuesta que yo he asumido que la condición inicial es $x'(0)=0$, es decir que comenzamos con velocidad cero. Si somos libres para elegir la velocidad inicial, a continuación, vamos a resolver por el decrecimiento de $t=1$ partir de $x = x_f$. Podemos permanecer aquí mientras podamos y, a continuación, empezar a acelerar al máximo para que nos acaba de llegar a los $x=0$ a $t=0$ (con la no-cero de la velocidad de $x'(0) = \sqrt{\frac{a_0}{2}}$). Por lo tanto la solución (para $a_0>2$) se $x(t) = 1 - (t/t_0-1)^2$ para $t < t_0$ e $x(t) = 1$ para $t>t_0$ donde $t_0 = \sqrt{\frac{2}{a_0}}$. Para este caso tenemos $L = \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{a_0}}$.