¿Es cierto que un functor que preserva todos los colimits finitos y todos los colimits filtrados, conserva de hecho todos los colimits? Leí esto en algún lugar y he tratado de encontrar una prueba de ello, pero no puedo encontrar una.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es cierto. Yo realmente no conozco a ninguna referencias para esto, pero realmente no es difícil mostrar que : recuerde que un functor preservar colimits si conserva co-productos y coequalizers. Ahora coequalizers son finitos colimits, eso es suficiente para demostrar que un functor que conserva finito colimits y filtrada colimits conserva co-productos; y esto se sigue del hecho de que el subproducto de una familia de objetos de $(X_i)_{i\in I}$ es el colimit de los co-productos más subconjuntos finitos de $I$, es decir : $$\coprod_{i\in I} X_i=\underset{J\subset I;\\ |J|<\infty}{\operatorname{colim}} \coprod_{j\in J}X_j,$$ y este es un filtrado colimit de finito colimits, como el conjunto de los subconjuntos finitos de $I$ se dirige, en el poset de subconjuntos de a$I$.
